模式识别从0构建—PCA

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PCA或K-L变换是用一种正交归一向量系表示样本。如果只选取前k个正交向量表示样本，就会达到降维的效果。PCA的推导基于最小化均方误差准则，约束是：u为单位正交向量。推导结果是，正交向量就是归一化的协方差矩阵的特征向量，对应的系数就是对应的特征值。使用PCA方法提取特征脸的步骤如下：

设有m条n维数据。

1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X

2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值

3）求出协方差矩阵 C=dfrac{1}{m}XX^T

4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量

5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P

6）Y=PX即为降维到k维后的数据

在实际应用中，大小为：特征数x特征数的协方差矩阵计算特征值和特征向量会很不方便，因此，化简出一种简便的求解方法，即先求大小为：图片数x图片数的协方差矩阵的特征值和特征向量，再将特征向量矩阵与原始样本相乘，这样得到的新的特征向量与第一种方法求出的特征向量等价。

人脸识别可以使用KNN算法，计算降维后待测样本点距训练样本点的距离，在距离最近的k个样本点中，选取出现次数最多的类别为样本点的类别。

在数据没有噪声的情况下，也可以直接计算离训练样本点的距离，直接将最近的样本点类别当做测试类别。还可以计算离各类样本点中心的距离。

也可以采取SVM、Fisher等其他分类方法完成人脸识别。

使用MATLAB完成实验，源代码及数据集已上传到Github。

前25张特征脸如图所示：

分别使用前10、100、400张特征脸对图像还原，效果如下图：

将数据集中的400张人脸以8:2的比例划分训练集和测试集，使用KNN算法对PCA降维后的人脸进行训练，测试集上的正确率为95%。

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