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数学不就是授之以鱼嘛 然后考之以 鱽鱾鲀鱿鲃鲂鲉鲌鲄鳐鳍鳘鳛鳕鳓鳔鳖
十大定理
设f(x)在[a,b]上连续
¶1. 有界性
|f(x)|leq K
¶2. 最值定理
mleq f(x)leq M
¶3. 介值定理
若mleq muleq M，exists xiin [a,b]，使f(xi)=mu
¶4. 零点定理
若 f(a)cdot f(b)<0exists xiin (a,b) ，使f(xi)=0
¶5.费马定理
设f(x)在x_0处：1. 可导 2. 取极值，则f’(x_0)=0
¶6. 罗尔定理
若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且f(a)=f(b) ，则 exists xiin(a,b) ，使得f’(xi)=0
¶7. 拉格朗日中值定理
若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，则exists xiin (a,b) ，使得 f(b)-f(a)=f’(xi)(b-a)
¶8. 柯西中值定理
若f(x)、g(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且g’(x)neq 0 ，则
exists xiin(a,b) ，使得 dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=dfrac{f’(xi)}{g’(xi)}
¶9. 泰勒定理（泰勒公式）
n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导 $f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0) dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 ... dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n o((x-x_0)^n) ,xxrightarrow{} x_0$
n阶带拉格朗日余项：条件为 n 1阶可导
$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0) dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 ... dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n dfrac{f^{(n 1)}(xi)}{(n 1)!}(x-x_0)^{n 1} ,xxrightarrow{} x_0$
¶10. 积分中值定理（平均值定理）
若 f(x)在 [a,b] 连续，则exists xiin(a,b)，使得 int_a^bf(x)dx=f(xi)(b-a)
【注】
- 称bar{f}=dfrac{1}{b-a}int_a^bf(x)dx 叫f(x) 在[a,b] 上的平均值。
- 离散化 bar{f}=dfrac{1}{n}sum_{i=1}^{n}f(x_i)
