2021-03-11 15:12:21
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变化率和曲线的切线
伟大的物理学家伽利略（Galileo Galilei）发现了自由落体运动的规律——传说他在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验。这个故事是他的学生记载的，其真实性，还有争议。但是，不论他是否真的做过那个实验，都不影响伽利略首先正确地研究出自由落体运动规律这个事实。
伽利略
如果用现代物理学的方式表示，自由落体运动的规律是：
y = frac{1}{2}gt^2其中
g 表示重力加速度，
t 表示物体下落时间。如果
g=9.8m/s^2 ，则上面的表达式可以写成：
y=4.9t^2假设某时刻
t_0 ，下一个时刻为
t_0 h ，要考察在时间间隔
Delta{t}=(t_0 h)-t_0=h 内物体运动的平均速度，即：
frac{Delta{y}}{Delta{t}}=frac{4.9(t_0 h)^2-4.9t_0^2}{h}t_0=1 ，则上式为：
frac{Delta{y}}{Delta{t}}=frac{4.9(1 h)^2-4.9(1)^2}{h}=9.8 4.9h当
h 很小——你说多小，比你说的还小，或者说
hto{0} 时，
frac{Delta{y}}{Delta{t}}to{9.8} 。
t_0=2 ，则：
frac{Delta{y}}{Delta{t}}=frac{4.9(2 h)^2-4.9(2)^2}{h}=19.6 4.9h同样，当
hto{0} 时，
frac{Delta{y}}{Delta{t}}to{19.6}如果将上面的计算抽象为数学问题，即为：
★对于函数
y=f(x) ，
x 在区间
[x_1, x_2] 内：
frac{Delta{y}}{Delta{x}} = frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=frac{f(x_1 h)-f(x_1)}{h}
其中，
hne{0} ，且
x_2=x_1 h 。称
frac{Delta{y}}{Delta{x}} 为
y=f(x) 在区间
[x_1, x_2] 上的变化率。
”
如下图所示，区间
[x_1, x_2] 对应的坐标系中的两个点
P,Q ，过这两个点的直线斜率即为
frac{Delta{y}}{Delta{x}} 。这条直线是
y=f(x) 曲线的割线。根据图示，可以想象，如果
h 越来越小，那么
P, Q 两点就越来越靠近，直到
hto{0} ，则
Q 点会无限接近于
P 点。此时，割线就逐渐演变为切线。
割线
函数的极限
极限的符号为
lim ，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母。德国人浏伊连（S. L'Huilier）在1786年出版的书中，首次使用这个符号。不过，当时把“
x 趋于
a ”记作了“
x=a”，直到20世纪人们才逐渐用“
to ”替代“
= ”。英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。
lim_{xto{c}}f(x)=L定理1：极限运算法则
设
L,M, c, k 为实数，并且函数
f(x) 和
g(x) 的极限分为别：
lim_{xto{c}}f(x) = L,quad lim_{xto{c}}g(x)=M则：
lim_{xto{c}}(f(x) g(x))=L Mlim_{xto{c}}(f(x)-g(x))=L-Mlim_{xto{c}}(kcdot{f(x)})=kcdot{L}lim_{xto{c}}(f(x)cdot{g(x)})=Lcdot{M}lim_{xto{c}}frac{f(x)}{g(x)}=frac{L}{M},Mne{0}lim_{xto{c}}[f(x)]^n=L^n, n是正整数lim_{xto{c}}sqrt[n]{f(x)}=sqrt[n]{L}=L^{1/n}定理2：多项式的极限
设多项式
P(x)=a_nx^n a_{n-1}x^{n-1} cdots a_0 ，则其极限：
lim_{xto{c}}P(x)=P(c)=a_nc^n a_{n-1}c^{n-1} cdots a_0定理3：多项式商的极限
设
P(x) 和
Q(x) 分别是两个多项式，且
Q(c)ne{0} ，则：
lim_{xto{c}}frac{P(x)}{Q(x)}=frac{P(c)}{Q(c)}定理4：三明治定理
也称为夹逼定理。是一种计算极限的方法。
设
x 的区间内，
g(x)le{f(x)}le{h(x)} ，并且常数
c 也在此区间内，若：
lim_{xto{c}}g(x)=lim_{xto{c}}h(x)=L则：
lim_{xto{c}}f(x)=L例：（1）
lim_{xto0}sintheta=0 （2）
lim_{xto0}costheta=1证明
（1）在上一节得到了结论：
-|theta|lesinthetale|theta| ，因为
lim_{thetato0}(-|theta|)=lim_{thetato0}(|theta|)=0 ，根据三明治定理，所以：
lim_{thetato0}sintheta=0（2）因为
0le{1-costheta}le|theta| ，所以
lim_{thetato0}(1-costheta)=0 ，则：
lim_{thetato0}(1-(1-costheta))=1-lim_{thetato0}(1-costheta)=1-0lim_{thetato0}costheta=1极限定义
设函数
f(x) ，对于任何数
epsilongt{0} ，存在一个数
deltagt{0} ，当
0lt|x-c|ltdelta 时，下式成立：
|f(x)-L|ltepsilon则：
lim_{xto{c}}f(x)=L ，即：函数
f(x) 在
x 趋近于
c 时的极限是
L 。
例题
已知
lim_{xto{c}}f(x)=L, lim_{xto{c}}g(x)=M ，
求证
lim_{xto{c}}(f(x) g(x))=L M证明
因为：
begin{split}|f(x) g(x)-(L M)| &= |(f(x)-L) (g(x) M)|\&le|f(x)-L| |g(x)-M| quad(根据三角不等式quad |a b|le|a| |b|)end{split}又因为
lim_{xto{c}}f(x)=L ，
则存在
delta_1gt{0} ，对
epsilongt{0} ，当
0lt|x-c|ltdelta_1 时，下式成立：
|f(x)-L|ltfrac{epsilon}{2}同理，存在存在
delta_2gt{0} ，对
epsilongt{0} ，当
0lt|x-c|ltdelta_2 时，下式成立：
|g(x)-M|ltfrac{epsilon}{2}令
delta=min{delta_1,delta_2} ，如果
0lt|x-c|ltdelta ，则
|x-c|ltdelta_1 ，故
|f(x)-L|ltfrac{epsilon}{2} 成立；同样，在此条件下，也有
|x-c|ltdelta_2 ，故
|g(x)-M|ltfrac{epsilon}{2} 成立。
所以：
|f(x) g(x)-(L M)|ltfrac{epsilon}{2} frac{epsilon}{2}=epsilon即：
lim_{xto{c}}(f(x) g(x))=L M 成立。
证毕。
（待续）
注：本文为“函数极限”第一部分，后续内容请持续关注
