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本文我们对逻辑回归和样条曲线进行介绍。
logistic回归基于以下假设：给定协变量x，Y具有伯努利分布，
目的是估计参数β。
回想一下，针对该概率使用该函数是
（对数）似然函数
对数似然
其中
。数值方法基于（数值）下降梯度来计算似然函数的 最大值。对数似然（负）是以下函数
代码语言：javascript复制 negLogLik = function(beta){
-sum(-y*log(1 exp(-(X%*�ta))) - (1-y)*log(1 exp(X%*�ta)))
}现在，我们需要一个起始点来启动算法
代码语言：javascript复制optim(par = beta_init, negLogLik, hessian=TRUE, method = "BFGS", control=list(abstol=1e-9))在这里，我们得到
代码语言：javascript复制 logistic_opt$par
(Intercept) FRCAR INCAR INSYS
1.656926397 0.045234029 -2.119441743 0.204023835
PRDIA PAPUL PVENT REPUL
-0.102420095 0.165823647 -0.081047525 -0.005992238让我们在这里验证该输出是否有效。例如，如果我们（随机）更改起点的值会怎么样
代码语言：javascript复制 plot(v_beta)
par(mfrow=c(1,2))
hist(v_beta[,1],xlab=names( )[ ])
hist(v_beta[,2],xlab=names( )[2])
这里有个问题。注意，我们不能在这里进行数值优化。我们可以考虑使用其他优化方法
代码语言：javascript复制 logLikelihoodLogitStable = function(vBeta, mX, vY) {
-sum(vY*(mX %*% vBeta - log(1 exp(mX %*% vBeta)
(1-vY)*(-log(1 exp(mX %*% vBeta))
optimLogitLBFGS = optimx(beta_init, logLikelihoodLogitStable,最优点
结果不理想。
我们使用的技术基于以下思想，
问题是我的计算机不知道一阶和二阶导数。
可以使用这种计算的函数
代码语言：javascript复制 logit = function(x){1/(1 exp(-x))}
for(i in 1:num_iter){
grad = (t(X)%*%(logit(X%*�ta) - y))
beta = beta - ginv(H)%*%grad
LL[i] = logLik(beta, X, y)以我们的OLS起点，我们获得
如果我们尝试另一个起点
一些系数非常接近。然后我们尝试其他方法。
牛顿（或费舍尔）算法
在计量经济学教科书里，您可以看到：
beta=as.matrix(lm(Y~0 X)$coefficients
for(s in 1:9){
pi=exp(X%*�ta[,s])/(1 exp(X%*�ta[,s]))
gradient=t(X)%*%(Y-pi)
omega=matrix(0,nrow(X),nrow(X));diag(omega)=(pi*(1-pi))在这里观察到，我仅使用该算法的十次迭代。
事实是，收敛似乎非常快。而且它相当鲁棒，看看我们改变起点会得到什么
代码语言：javascript复制beta=as.matrix(lm(Y~0 X)$coefficients,ncol=1)*runif(8)
for(s in 1:9){
pi=exp(X%*�ta[,s])/(1 exp(X%*�ta[,s]))
gradient=t(X)%*%(Y-pi)
omega=matrix(0,nrow(X),nrow(X));diag(omega)=(pi*(1-pi))
Hessian=-t(X)%*%omega%*%X
beta=cbind(beta,beta[,s]-solve(Hessian)%*%gradient)}
beta[,8:10]
效果提高了，并且可以使用矩阵的逆获得标准偏差。
标准最小二乘
我们更进一步。我们已经看到想要计算类似
但是实际，这是一个标准的最小二乘问题
这里唯一的问题是权重Δold是未知β的函数。但是实际上，如果我们继续迭代，我们应该能够解决它：给定β，我们得到了权重，并且有了权重，我们可以使用加权的OLS来获取更新的β。这就是迭代最小二乘的想法。
该算法
代码语言：javascript复制 beta_init = lm(PRONO~.,data=df)$coefficients
for(s in 1:1000){
omega = diag(nrow(df))
diag(omega) = (p*(1-p))输出在这里
结果很好，我们在这里也有估计量的标准差
标准逻辑回归glm函数：
当然，可以使用R内置函数
可视化
让我们在第二个数据集上可视化从逻辑回归获得的预测
代码语言：javascript复制 image(u,u,v ,breaks=(0:10)/10)
points(x,y,pch=19 )
points(x,y,pch=c(1,19)
contour(u,u,v,levels = .5 
这里的水平曲线-或等概率-是线性的，因此该空间被一条直线（或更高维的超平面）一分为二（0和1，生存和死亡，白色和黑色）此外，由于我们是线性模型，因此，如果更改截距（为创建两个类别的阈值），我们将获得平行的另一条直线（或超平面）。
接下来，我们将约会样条曲线以平滑那些连续的协变量。
分段线性样条函数
我们从“简单”回归开始（只有一个解释变量），我们可以想到的最简单的模型来扩展我们上面的线性模型， 是考虑一个分段线性函数，它分为两部分。最方便的方法是使用正部函数
（如果该差为正，则为x和s之间的差，否则为0）。如
是以下连续的分段线性函数，在s处划分。
对于较小的x值，线性增加，斜率β1；对于较大的x值，线性减少。因此，β2被解释为斜率的变化。
当然，可以考虑多个结。获得正值的函数如下
代码语言：javascript复制pos = function(x,s) (x-s)*(x<=s)然后我们可以在回归模型中直接使用它
回归的输出在这里
代码语言：javascript复制 Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -0.1109 3.2783 -0.034 0.9730
INSYS -0.1751 0.2526 -0.693 0.4883
pos(INSYS, 15) 0.7900 0.3745 2.109 0.0349 *
pos(INSYS, 25) -0.5797 0.2903 -1.997 0.0458 *因此，对于很小的值，原始斜率并不重要，但是在15以上时，它会变得明显为正。而在25以上，又发生了重大变化。我们可以对其进行绘图以查看发生了什么
代码语言：javascript复制 plot(u,v,type="l")
points(INSYS,PRONO)
abline(v=c(5,15,25,55)
使用bs（）线性样条曲线
使用GAM模型，情况略有不同。我们将在这里使用所谓的 b样条曲线，
我们可以用边界结点（5,55）和结 {15,25}定义样条函数
代码语言：javascript复制 B = bs(x,knots=c(15,25),Boundary.knots=c(5,55),degre=1)
matplot(x,B,type="l",lty=1,lwd=2,col=clr6)
如我们所见，此处定义的函数与之前的函数不同，但是在每个段（5,15）（15,25）和（25,55）。但是这些函数（两组函数）的线性组合将生成相同的空间。换个角度说，对输出的解释会不同，预测应该是一样的。
代码语言：javascript复制 Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -0.9863 2.0555 -0.480 0.6314
bs(INSYS,..)1 -1.7507 2.5262 -0.693 0.4883
bs(INSYS,..)2 4.3989 2.0619 2.133 0.0329 *
bs(INSYS,..)3 5.4572 5.4146 1.008 0.3135观察到像以前一样存在三个系数，但是这里的解释更加复杂了
但是，预测结果很好。
分段二次样条
让我们再往前走一步...我们是否也可以具有导数的连续性？考虑抛物线函数，不要对
和
进行分解，考虑对
和
进行分解。
代码语言：javascript复制Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 29.9842 15.2368 1.968 0.0491 *
poly(INSYS, 2)1 408.7851 202.4194 2.019 0.0434 *
poly(INSYS, 2)2 199.1628 101.5892 1.960 0.0499 *
pos2(INSYS, 15) -0.2281 0.1264 -1.805 0.0712 .
pos2(INSYS, 25) 0.0439 0.0805 0.545 0.5855不出所料，这里有五个系数：截距和抛物线函数的三个参数，然后是中间两个附加项–此处（15,25）–以及右侧的部分。当然，对于每个部分，只有一个自由度，因为我们有一个抛物线函数（三个系数），但是有两个约束（连续性和一阶导数的连续性）。
在图上，我们得到以下内容
使用bs（）二次样条
当然，我们可以使用R函数执行相同的操作。但是和以前一样，这里的函数有所不同
代码语言：javascript复制matplot(x,B,type="l",col=clr6)
如果我们运行R代码，得到
代码语言：javascript复制 glm(y~bs(INSYS knots=c(15,25),
Boundary.knots=c(5,55),degre=2)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 7.186 5.261 1.366 0.1720
bs(INSYS, ..)1 -14.656 7.923 -1.850 0.0643 .
bs(INSYS, ..)2 -5.692 4.638 -1.227 0.2198
bs(INSYS, ..)3 -2.454 8.780 -0.279 0.7799
bs(INSYS, ..)4 6.429 41.675 0.154 0.8774预测是完全相同的
代码语言：javascript复制plot(u,v,ylim=0:1,type="l",col="red")
三次样条
我们可以使用三次样条曲线。我们将考虑对
进行分解，得到时间连续性，以及前两个导数的连续性。如果我们使用bs函数，则如下
代码语言：javascript复制matplot(x,B,type="l",lwd=2,col=clr6,lty=1
abline(v=c(5,15,25,55),lty=2)
现在的预测将是
代码语言：javascript复制bs(x,knots=c(15,25),
Boundary.knots=c(5,55),degre=3
结的位置
在许多应用程序中，我们不想指定结的位置。我们只想说（三个）中间结。可以使用
代码语言：javascript复制bs(x,degree=1,df=4)可以查看
代码语言：javascript复制 bs(x, degree = 1L, knots = c(15.8, 21.4, 27.15),
Boundary.knots = c(8.7, 54), intercept = FALSE)它为我们提供了边界结的位置（样本中的最小值和最大值），也为我们提供了三个中间结。观察到实际上，这五个值只是（经验）分位数
代码语言：javascript复制quantile( ,(0:4)/4)
0% 25% 50% 75% 100%
8.70 15.80 21.40 27.15 54.00如果我们绘制预测，我们得到
代码语言：javascript复制plot(u,v,ylim=0:1,type="l",col="red",lwd=2)
如果我们回到logit变换之前的计算，我们清楚地看到断点是不同的分位数
代码语言：javascript复制 plot(x,y,type="l",col="red",lwd=2)
abline(v=quantile(my ,(0:4)/4),lty=2)
如果我们没有指定，则不会得到任何结…
代码语言：javascript复制 bs(x, degree = 2L, knots = numeric(0),
Boundary.knots = c(8.7,54), intercept = FALSE)如果我们看一下预测
代码语言：javascript复制predict(reg,newdata=data.frame(u),type="response")实际上，这和二次多项式回归是一样的（如预期的那样）
相加模型
现在考虑第二个数据集，包含两个变量。这里考虑一个模型
然后我们用glm函数来实现相加模型的思想。
代码语言：javascript复制glm(y~bs(x1,degree=1,df=3) bs(x2,degree=1,df=3), family=binomial(link =
v = outer(u,u,p)
image(u,u,v, ",col=clr10,breaks=(0:10)/10)现在，我们能够得到一个“完美”的模型，所以，结果似乎不再连续
persp(u,u,v,theta=20,phi=40,col="green"
当然，它是分段线性的，有超平面，有些几乎是垂直的。 我们也可以考虑分段二次函数
代码语言：javascript复制contour(u,u,v,levels = .5,add=TRUE)
有趣的是，我们现在有两个“完美”的模型，白点和黑点的区域不同。
在R中，可以使用mgcv包来运行gam回归。它用于广义相加模型，但这里只有一个变量，所以实际上很难看到“可加”部分，可以参考其他GAM文章。
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