矩阵的广义逆
若Ain mathbb{C}^{ntimes n}，且A为可逆矩阵，则有
- AA^{-1}A=A
- A^{-1}AA^{-1}=A^{-1}
- (AA^{-1})^H=AA^{-1}
- (A^{-1}A)^H=A^{-1}A
若Ain mathbb{C}^{mtimes n}, Xin mathbb{C}^{mtimes m}，以下矩阵方程称为Penrose方程
- AXA=A
- XAX=X
- (AX)^H=AX
- (XA)^H=XA
满足Penrose方程中一个或多个的Xin mathbb{C}^{ntimes m}称为A的一种广义逆矩阵。最广泛的广义逆矩阵有以下两个
- 仅满足条件1的广义逆矩阵称为减号逆，记为A^{-}
- 满足条件1,2,3,4的广义逆矩阵称为加号逆，记为A^
矩阵的减号逆
（减号逆存在性定理）Ain mathbb{C}^{mtimes n}，矩阵方程AXA=A恒有解，并且称X是A的一个减号逆
证明：设rank(A)=r≤min(m,n)，存在可逆矩阵P,Q使得
取X = Q^{-1}begin{bmatrix}E_r&B_{rtimes (n-r)}\C_{(m-r)times r}&D_{(m-r)times (n-r)}end{bmatrix}P^{-1}B,C,D为任意的满足分块要求的矩阵，则
$$ begin{aligned} AX A &= Pbegin{bmatrix}E_r&0\0&0end{bmatrix}QQ^{-1}begin{bmatrix}E_r&B\C&Dend{bmatrix}P^{-1}Pbegin{bmatrix}E_r&0\0&0end{bmatrix}Q\ &=Pbegin{bmatrix}E_r&0\0&0end{bmatrix}Q\ &=A end{aligned} $$
很明显，减号逆是不唯一的
$A^{-}$的求法
对rank(A)=r的矩阵A，做增广矩阵begin{bmatrix}A & E_m\ E_n & 0 end{bmatrix}A化为最简形，得到left[begin{array}{rr|rr} E_r& 0 & P \ 0 & 0 & \ hline \ Q & & 0 &end{array}right]X = Qbegin{bmatrix}E_r&B\C&Dend{bmatrix}PB,C,D是满足固定阶次的任意矩阵
例1
求矩阵A= begin{bmatrix}0&-1&3&0\2&-4&1&5\-4&5&7&-10end{bmatrix}
解：
$$ begin{aligned} left[begin{array}{c|c} A & E_{m} \ hline E_{n} & 0 end{array}right]&=left[begin{array}{rrrr|rrr} 0 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -4 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \ -4 & 5 & 7 & -10 & 0 & 0 & 1 \ hline 1 & 0 & 0 & 0 & & \ 0 & 1 & 0 & 0 & & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & & end{array}right]\ &to left[begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & frac{1}{2} & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1 \ hline 1 & 0 & frac{11}{2} & -frac{5}{2} & & \ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & \ 0 & 0 & 1 & 0 & & \ 0 & 0 & 0 & 1 & & end{array}right] end{aligned} $$
于是
$$ {P}=left[begin{array}{ccc} -2 & frac{1}{2} & 0 \ -1 & 0 & 0 \ -3 & 2 & 1 end{array}right], quad {Q}=begin{bmatrix} 1 & 0 & frac{11}{2} & -frac{5}{2} \ 0 & 1 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} $$
所以
其中Bin mathbb{C}^{2times 1}, Cin mathbb{C}^{2times 2},Din mathbb{C}^{2times 1}
例2
求矩阵A=begin{bmatrix}2mathrm{i}&mathrm{i}&0\0&0&-3\2&1&1end{bmatrix}
解：
$$ begin{aligned} left[begin{array}{c|c} A & E_{m} \ hline E_{n} & 0 end{array}right]&=left[begin{array}{rrr|rrr} 2mathrm{i} & mathrm{i} & 0&1&0&0 \ 0&0&-3&0&1&0 \ 2&1&1 &0&0&1\ hline 1 & 0 & 0 & & \ 0 & 1 & 0 & & 0 \ 0 & 0 & 1 end{array}right]\ &to left[begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0&1&0&0 \ 0&1&0&0&1&0 \ 0&0&0 &mathrm{i}&frac{1}{3}&1\ hline -frac{1}{2}mathrm{i} & 0&-frac{1}{2} & & \ 0 & 0 & 1 & & 0 \ 0 & -frac{1}{3} & 0 end{array}right] end{aligned} $$
于是
$$ {P}=left[begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ mathrm{i}&frac{1}{3}&1 end{array}right], quad {Q}=begin{bmatrix} -frac{1}{2}mathrm{i} & 0&-frac{1}{2} \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -frac{1}{3} & 0 end{bmatrix} $$
所以
其中Bin mathbb{C}^{2times 1}, Cin mathbb{C}^{2times 2},Din mathbb{C}^{2times 1}
非齐次线性方程组的相容性
（定理）Ain mathbb{C}^{ntimes n},Ax=b有解Leftrightarrow b=AA^-b
非齐次线性方程组解的结构
（定理）Ain mathbb{C}^{mtimes n}，若Ax=b有解，则通解为
其中tin mathbb{C}^{n}。若相容，则上式为通解；若不相容，则上式为最小二乘的通解
矩阵的左逆、右逆
设A in mathbb{C}^{m times n}, B in mathbb{C}^{n times m}，若有BA=E_n，则称B是A的一个左逆，记为A_L^{-1}
等价条件：
- A的零空间N(A)={0}
- m geqslant n, ; rank(A)= n，即A是列满秩的
- A^H A可逆
设A in mathbb{C}^{m times n}, C in mathbb{C}^{n times m}，有AC = E_m，则称C是A的一个右逆，记为A_R^{-1}
等价条件：
- A的列空间R(A)=C^m
- m leqslant n, ; rank(A)=m，即A是行满秩的
- AA^H可逆
矩阵的加号逆
定义：对于矩阵A in mathbb{C}^{m times n}，A=BC是A的一个满秩分解，则
是A的加号逆，且加号逆唯一
性质：
- rank(A) = rank(A^ )
- rank(A^ A) = rank(AA^ )=rank(A)
$A^ $的求法
实际上加号逆的定义就是一个求法，另外还可以通过SVD分解进行求解：
对矩阵A进行奇异值分解，得到A = U begin{bmatrix}Delta &0 \ 0 & 0end{bmatrix}V^Hcolor{red}{A^ = V begin{bmatrix}Delta^{-1} & 0\ 0 & 0end{bmatrix}U^H}
例2
分别求矩阵A=left[begin{array}{lllll}1 & 1 & 0 & 1 & 0 \0 & 1 & 1 & 1 & 1 \1 & 0 & 1 & 1 & 0end{array}right],B = begin{bmatrix}0&1&0&1\0&1&0&1\2&0&1&1end{bmatrix}
解：
对矩阵A只作初等行变换
$$ A=left[begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 end{array}right]to ···to begin{bmatrix}1&0&0&frac{1}{2}&-frac{1}{2}\0&1&0&frac{1}{2}&frac{1}{2}\0&0&1&frac{1}{2}&frac{1}{2}end{bmatrix} $$
故可将A进行满秩分解为A=CD，且
则
对矩阵B只作初等行变换
故可将B进行满秩分解为B=EF，且
则
