随机变量及其分布函数

2021-04-12 15:19:49 浏览数 (3)
  1. 随机变量是一个映射/函数，将一个实数值X(w)赋予一个实验的每一个输出w。 X(Ω)=R 例如抛十次硬币，令X(w)表示序列w中正面向上的次数，如当w=HHTHHTHHTT，则X(w)=6;X只能取离散值，称为离散型随机变量 令 Ω=(x,y):x2 y2<=1 Omega={(x,y): x^2 y^2<=1} 表示单位圆盘，输出为该圆盘中的一点w=(x,y)，则有随机变量： X(ω)=x,Y(ω)=y,Z(ω)=x2 y2−−−−−−√ X(omega)=x, Y(omega)=y, Z(omega)=sqrt{x^2 y^2} X,Y,Z都是连续随机变量
  2. 数据是随机变量的具体取值。统计量是数据/随机变量的任何函数。任何变量的函数仍然是随机变量
  3. CDF(Cumulative Distribution Function)累积分布函数：令X为一随机变量，x为X的一个具体值（数据）。则随机变量的累计分布函数为： F(x)=P(X<x) F(x) = P(X < x)
  4. 对于离散随机变量，概率(质量)函数pmf(probability function or probability mass function)： p(x)=P(X=x) p(x)=P(X=x) CDF与pmf关系： F(x)=P(X<x)=∑xi<=xp(xi) F(x) = P(X<x) = sum_{{x_i}<=x}{p(x_i)} 对于连续随机变量，概率密度函数pmf(probability density function)p(x)：对于所有的x，p(x)>=0,且对任意a<=b，有： P(a<X<=b)=∫bap(x)dx P(a<X<=b) = int^b_ap(x)dx 当F可微的时候： F(x)=∫x−∞p(t)dt F(x) = int^x_{-infty}p(t)dt p(x)=F′(x) p(x) = F'(x)
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