这篇笔记梳理下MMI的相关知识点。MMI, 全称是multi-mode inferometer, 即多模干涉器（有些文献里也称为multi-mode interference coupler, 即多模干涉耦合器)。顾名思义，MMI的工作原理是基于多模干涉，在特定位置处形成自成像，周期性地复现输入光场。
1. 工作原理
典型的MMI由三部分组成，即输入波导，多模波导区域和输出波导。多模波导区域的宽度较宽，可支持多个高阶波导模式，如下图所示。
（图片来自http://docs.lucedaphotonics.com/picazzo/filters/mmi/index.html）
以下是MMI的理论推导(公式较多，大家耐着性子看一看)，多模波导区的波导模式传播常数满足下列关系，
其中
对于硅波导，其折射率对比度非常大，W_em近似等于Wm(多模波导区的宽度)。做一些简单的简化之后，可以得到传播常数的表达式，
定义0阶模与1阶模的拍频长度为，
进而，m阶模式传播常数的表达式可化为，
当输入光场进入到多模波导区域时，光场按照多模波导区域的本征模式进行分解，即
当光沿着x轴传播一段距离后，各阶模式的振幅不变，而相位发生变化，即
不同阶模式累积的相位不同，但是当满足一定条件时，各个模式相长干涉，光场得以复现，即所谓的自成像效应(self-imaging effect)。根据不同的入射条件，多模干涉可分为：1）general interference,2) paired interference, 3) symmetric interference
a) general interference
当
此时在相同的y0位置处成一个像，
当
此时在与y0对称的位置处成一个像。这两种情况下，多模波导区域的长度满足，
当多模波导区域长度满足，
此时经过一定的化简，可以得到，
即在y和-y处分别成输入光场的像。
上述三种情况，光场的传播对应下图，
（图片来自文献1）
类似地，可以得到N重像所满足的长度关系。其传播图案如下图所示，
b）paired interference
当m!=2,5,8,11时，m(m 2)被3整除，此时成单个像的多模波导区域长度可减小为，
为了不激发m=2,5,8...阶的模式，输入光场的位置必须是，
该输入条件常用于MMI_2x2中，主要目的是为了减小多模波导区域的长度。
c）symmetric interference
当m为偶数时，m(m 2)可以被4整除，此时成单个像的多模波导区域长度可减小为，
多模波导区域的长度进一步减小。为了不激发奇数阶的模式，光场必须从y=0处输入。
上述这三种情况的输入条件，成像位置见下表。详细的理论推导可参看文献1。
