快速傅里叶变换——理论

本文公式较多，欢迎大家勘误

1.周期离散信号的傅里叶变换

离散信号傅里叶变换的公式如下所示：

离散傅里叶变换的原理是将原本非周期的信号复制扩展为周期信号，在实际的数字电路处理中，处理的信号是有限长的，取长度为N，即N为信号

的周期，对于有限长周期信号，其离散傅里叶变换有如下性质：

其中

为周期信号的傅里叶级数，而

表示当且仅当

时有

，因此可以将傅里叶变换转为离散表达，如下所示：

考虑

以N为周期，因此仅需要计算k从0到N-1即可，取

此公式写成矩阵乘法模式如下所示：

W为一个

的方阵，该计算的复杂度为

2.快速傅里叶变换（分治法）

2.1.系数W性质

对于系数矩阵中的元素

，其公式如下所示：

考虑

，推导公式如下所示：

再考虑

和

的情况：

再考虑

和

的情况：

最后考虑

且

或

的情况：

根据上述推导，可以得出系数W具有以下四条性质，这三条性质会在后续推导中用到：

，同理有

和

2.2.频域抽取基2快速傅里叶变换

基n快速傅里叶变换用于一个长度N为

的序列，例如基2快速傅里叶作用在

的序列上，基4快速傅里叶作用在

的序列上。现在考虑基2FFT的推导（硬件实现一般使用基4或基8FFT实现），首先写出有限长离散序列的傅里叶变换，记一个信号

的FFT变换为

：

快速傅里叶变换的核心思想为分而治之，即分治法，该思想的核心是将一个长度为N的问题，分级为两个长度为

的问题，应用在这里即是需要将一个序列长度为N的FFT变换问题分解为两个序列长度为

的FFT变换。首先进行如下变换：

矩阵的形式如下所示：

根据W的性质

，代入后有：

矩阵形式的表达如下所示，现在的矩阵为两个个高度为N，长度为N/2的矩阵。

代入

，根据W的性质

有：

矩阵表达如下所示：

代入

，根据W的性质

有：

矩阵表达如下所示：

根据上述推导，一个长度为N点的离散傅里叶变换被变为一个长度为

的离散傅里叶变换，取

公式如下所示：

2.3.时域抽取基2快速傅里叶变换

根据频域抽取基2FFT的算法，除了按前后分类外，还可以直接按奇偶进行分类，公式如下所示：

对应的矩阵表示为：

取序列

，

代入上述表达式，取

再代入W的变换性质可得：

其对应的矩阵为：

即将对F[k]的上半部分结果分解为两个FFT结果的和，即：

现在考虑F[k]的下半部分，公式如下所示：

取

，代入有：

代入W的性质

和

，有：

将变量i更换为k，其矩阵形式为：

最终可以将结果汇总为：

3.快速傅里叶变换的实现

3.1.蝶形运算

蝶形运算的公式如下，蝶形运算输入为

和

，输出为

和

，系数为

：

其转换为矩阵表达为：

蝶形公式对应着2点FFT的计算，2点FFT的计算如下所示：

转换为矩阵表达为：

对应到蝶形运算有：

3.2.频域抽取基2FFT的实现

首先列出基2频域抽取FFT的分治公式：

以一个8点FFT为例，输入序列为：

进行第一次分治，分为两个4点FFT，序列为：

示意图如下所示，偶数标号的结果由第一个FFT生成，奇数标号的结果由第二个FFT生成：

tu1.png

随后进行第二次分治，将每个4点FFT分解为两个2点FFT，每个序列为：

示意图如下所示：

tu2.png

最终通过2点FFT计算出结果，但如上图所示，计算出的结果位置与标号并不对应，例如计算输出的标号为2的数据（Y10[1]）应当位于输出序列（X）的标号4（X[4]）。其变换规律为计算输出的标号为n的数据（第n 1个数据）对应到输出序列标号为m的数据，n为m的二进制反序。以计算输出标号为6（第七个数据）的数据Y13[0]为例，6的二进制为110，反序为011，对应十进制数为3，即有