这是 Python 进阶课的第十二节 - 负油价和负利率模型，进阶课的目录如下：
- NumPy 上
- NumPy 下
- Pandas 上
- Pandas 下
- SciPy 上
- SciPy 下
- Pandas 时间序列
- Pandas 高频数据采样
- 默顿模型计量经济资本
- LSMC 定价美式和百慕大期权
- 负油价和负利率模型
之前基础版的 11 节的目录如下：
- 编程概览
- 元素型数据
- 容器型数据
- 流程控制：条件-循环-异常处理
- 函数上：低阶函数
- 函数下：高阶函数
- 类和对象：封装-继承-多态-组合
- 字符串专场：格式化和正则化
- 解析表达式：简约也简单
- 生成器和迭代器：简约不简单
- 装饰器：高端不简单
在固定收益 (fixed-income) 世界中，收益率曲线毫无疑问是最重要的概念。它表示给定发行人和给定时间点，投资收益率 (yield) 和期限 (tenor) 之间的关系。市场中没有单一的收益率曲线，在不同的时间点 (time)，对不同的货币 (currency)，对不同的发行人 (issuer) 和不同的信贷水平 (rating) 有一系列不同的收益率曲线。
本次课程目录如下：
1. 基本概念
- 收益率曲线 101
- 债券 101
2. Nelson Siegel 模型
- 瞬时远期利率
- 即期利率
- Svensson 模型
3. Nelson Siegel 实现
- 数据处理
- 模型优化
- 结果分析
当我们谈论收益曲线模型时，有两种情况：
- 在给定时间点的收益率曲线的形式 (at a point of time)
- 收益率曲线随时间变化的动态 (through time)
首先 NS 模型制定了瞬时远期利率（instantaneous forward rates）的形式：
该模型有四个参数 β0, β1, β2, λ，其中 τ = T - t 是到期年限，λ > 0。
瞬时远期利率 f(t, T) 里面有三项：
- 第一项 β0 是当 τ 趋近无穷大时的远期利率，因此 β0= f(∞)。
- 第二项是个单调函数，当 β1> 0 时递减，当 β1 < 0 时递增。
- 第三项是个非单调函数，可以产生 hump。
当 τ 趋近零时，第二项趋近于 β1，第三项趋近于 0，因此 f(0) = β0 β1。
从上图这样容易看出：
- β0 的因子载荷是常数，对于对所有期限利率的影响是相同的，因此 β0 可控制利率水平（level），它的变动会使得收益率曲线发生水平上下移动。
- β1 的因子载荷是单调递减，从1 很快的衰减到 0，这表明 β1 对短端利率的影响较大，因此 β1 可控制曲线斜率（slope），影响着利率曲线的斜率程度。
- β2 的因子载荷先增后减，从 0 增到 1 再减到 0，这表明 β2 对利率曲线的短端和长端影响较弱，对中端的影响较大，因此 β2 控制曲线曲率（curvature）。
- τ 是 β1 和 β2 的因子载荷的衰减速度，该值越大衰减越快。
核心代码如下：
拟合结果如下：
对比债券市场和模型价格：
对比债券市场和模型收益率：
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