你够全面了解L1与L2正则吗？

与

正则的区别

正则化(

Regularization

) 是机器学习中对原始损失函数引入惩罚项，以防止过拟合或提高模型泛化性能的一类方法的统称。所谓惩罚是指对损失函数中的某些参数做一些限制。此时目标函数变成了原始损失函数惩罚项，常用的正则项一般有两种，英文称作

l_{1}−norm

和

l_{2}−norm

，中文称作

正则化和

正则化，或者

范数和

范数（实际是

范数的平方）。

对于线性回归模型，使用

正则化的模型叫做

Lasso

回归，使用

正则化的模型叫做

Ridge

回归（岭回归）。

1.

正则化

假设带有

正则化的目标函数为：

J=J_0 ||W||_1 = J_0 alphasum|w| (1)

其中，

J_0

为原始的损失函数，

alpha sum |w|

为L1正则化项，

alpha

为正则化系数，

表示特征的系数（x的参数），可以看到正则化项是对系数做了限制。L1正则化是指权值向量

中各个元素的绝对值之和，通常表示为

||w||_1

范数符合拉普拉斯分布，是不完全可微的。表现在图像上会有很多角出现。这些角和目标函数的接触机会远大于其他部分。就会造成最优值出现在坐标轴上，因此就会导致某一维的权重为

，产生稀疏权重矩阵，进而防止过拟合。

正则化项相当于对原始损失函数

J_0

做了一个约束。我们令

L = alphasum|w|

，那么整个目标函数可以写成：

J= J_0 L (2)

我们的目的就是求出在约束条件

下，

J_0

取最小值的解。为了方便理解，我们考虑二维的情况，此时

L = |w_1| |w_2|

L1正则化图示

图中等高线是

J_0

的等高线，黑色菱形是

函数的图形。图中当等高线

J_0

与

图形首次相交的地方就是最优解。上图中

J_0

与

在一个顶点处相交，这个顶点就是最优解

w^∗

。

拓展到多维，

函数就会有很多突出的角（二维情况下四个，多维情况下更多），

J_0

与这些角接触的概率远大于与

其它部位接触的概率（这是很直觉的想象，突出的角比直线的边离等值线更近），而在这些角的位置上使很多权重为0。所以在最优解处，L1正则化就可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

alpha

正则化系数，可以控制

图形的大小，

alpha

越小，

图形越大，

alpha

越大，

图形越小。

正则化对所有参数的惩罚力度都一样，可以让一部分权重变为

，去除某些特征（权重为0则等效于去除），因此产生稀疏模型。

那么稀疏模型有什么好处呢？

稀疏化正则化项一个最重要的优势就在于实现特征的自动选择。所谓稀疏性，说白了就是模型的很多参数是0。通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（

term

）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（

bigram

）。但是只有少数特征对该模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的。在最小化目标函数时，需要考虑这些额外的特征，虽然能获得更小的训练误差，但在预测阶段，模型会考虑这些无用的特征，从而可能干扰模型的正确预测。

这种模型就是所谓的泛化性能不强，有过拟合的嫌疑。如果通过稀疏化正则化项得到一个稀疏模型，很多参数是

，此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这相当于对模型进行了一次特征选择，只留下一些比较重要的特征，提高模型的泛化能力，降低过拟合的可能。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

2.

正则化

假设带有

正则化的目标函数为：

J = J_0 ||w||^2_2 = J_0 alpha sum w^2 (3)

同

正则化，

表示特征的系数（

的参数），可以看到正则化项是对系数做了限制。

正则化是指权值向量

中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到

Ridge

回归的

正则化项有平方符号），通常表示为

||w||_2

范数符合高斯分布，是完全可微的。和

相比，图像上为一个⚪。一般最优值不会在坐标轴上出现。在最小化正则项时，参数不断趋向于

，但并不是

。

如下图：

相比于

正则化，

正则化的函数

与

J_0

第一次相交的地方出现在具有稀疏性的位置的概率就变得非常小了。这就从直观上来解释了为什么

正则化能产生稀疏性，而

正则化不能产生稀疏性的原因了。

正则化的作用：主要是为了防止过拟合。

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，泛化能力强，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是抗扰动能力强。

越是复杂的模型，越是尝试对所有样本进行拟合，包括异常点。这就会造成在较小的区间中产生较大的波动，这个较大的波动也会反映在这个区间的导数比较大。只有越大的参数才可能产生较大的导数。因此参数越小，模型就越简单。

为什么

正则化能够得到值很小的参数？？？

我们通过线性回归，来看一下

正则化解决过拟合问题。

假设要求解的参数为

theta

，

h_{theta}(x)

是假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是

h_{theta}(x) - y)^2

，如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有

个样本，线性回归的损失函数如下，

J(theta) = frac{1}{2m} sum^m_{i=1} (h_{theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 (4)

其梯度下降算法公式为：

theta_j = theta_j - alpha frac{1}{m}[sum_{i=1}^m(h_{theta}(x^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)}] (5)

加入

正则化后，其损失函数为

J(theta) = frac{1}{2}sum^m_{i=1}((h_{theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 lambdasum^m_{i=1}theta_j^2) (6)

其梯度下降算法公式为：

theta_j = theta_j - (alpha frac{1}{m}[sum_{i=1}^m(h_{theta}(x^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)}] lambda theta_j)=theta_j(1-alphafrac{lambda}{m}) - (alpha frac{1}{m}sum_{i=1}^m(h_{theta}(x^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)}) (7)

可以看到，由于学习率

alpha > 0, lambda >0

，且这两个值一般都是很小的正数，所以

0< 1-alphafrac{lambda}{m} < 1

，所以每次

theta

在更新的时候都会减小，

lambda

越大，衰减的越快，这也是L2正则化可以获得更小的权重值的原因。

正如在线性回归中的应用，

正则化就是在损失函数中加入一个

范数和一个超参数

lambda

，

范数用

||w||^2

这种符号表示，它的意思是对于向量

中的各个数先求平方再加和。线性回归中加入的对于

theta_j

求平方和就是一个L2范数。超参数

lambda

则用于控制参数惩罚的程度。

我们在举个例子，来展示

正则化如何解决过拟合的现象

来源：吴恩达机器学习课程

将上述公式分为两部分，左边部分即为原始的损失函数，右边部分为

正则化项（注意：正则化项中不包含

theta_0

）。

lambda

为超参数，是人为设定的。为了最小化整个损失函数，那么就要减小

theta_1

theta_n

的值。对于上图中的那种过拟合状态，加入正则项后，

theta_1

theta_n

减小，也就是使得权重衰减，这样就会降低高阶项对于整个函数的影响，使得估计函数变得比较平滑。

可以想象一种极端的情况，如果

lambda

为无穷大，那么

theta_1

theta_n

趋近于0，那么整个式子就只剩一个

theta_0

，为一条和y轴垂直的直线，这种状态为严重的欠拟合状态。可以看到，当

lambda

为0时，即为原来的状态，此时过拟合。所以会有一个恰当的

lambda

使得模型处于既不过拟合又不欠拟合的状态。

在未加入

正则化发生过拟合时，拟合函数需要顾忌每一个点，最终形成的拟合函数波动很大，在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈，也就是某些

值非常大。为此，

正则化的加入惩罚了权重变大的趋势,逼迫所有

尽可能趋向零但不为零（

正则化的导数趋于零），导致权重较为平滑。

3. 直观理解为什么

正则更稀疏，

正则权重接近于0.

假设只有一个参数为

，损失函数为

L(w)

，分别加上

正则项和

正则项后有：

J_{L1}(w)=L(w) lambda|w| \ J_{L2}(w)=L(w) lambda w^{2}

这里，假设

L(w)

在0处的导数值为

d_{0}

，即：

left.frac{partial L(w)}{partial w}right|_{w=0}=d_{0}

这时，可以推导使用

正则和

正则时的导数。

当引入

正则项，在

处的导数：

left.frac{partial J_{L 2}(w)}{partial w}right|_{w=0}=d_{0} 2 times lambda times w=d_{0}

引入

正则项，在

处的导数：

begin{array}{l} left.frac{partial J_{L 1}(w)}{partial w}right|_{w=0^{-}}=d_{0}-lambda \ left.frac{partial J_{L 1}(w)}{partial w}right|_{w=0^{ }}=d_{0} lambda end{array}

可见，引入

正则时，损失函数在0处的导数仍是

d_{0}

，无变化。

而引入

正则后，损失函数在

处的导数有一个突变。从

d_{0}-lambda

到

d_{0} lambda

。若

d_{0}-lambda

与

d_{0} lambda

异号，则在

处会是一个极小值点。因此，优化时，很可能优化到该极小值点上，即

w=0

处。

当然，这里只解释了有一个参数的情况，如果有更多的参数，也是类似的。因此，用L1正则更容易产生稀疏解。

4. 从先验概率分布来了解，为何L1正则更加稀疏？

假设，我们的数据数据是稀疏的,不妨就认为它来自某种

laplace

分布。其中

laplace

的概率密度函数图像如下图所示：

再看看

laplace

分布的概率密度函数:

f(x mid mu, b)=frac{1}{2 b} exp left(-frac{|x-mu|}{b}right)

如果取对数,剩下的是一个一次项

|x-u|

,这就是

范式。所以用

范式去正则,就假定了你的数据是稀疏的

laplace

分布。

5. 总结

正则化项是模型各个参数的绝对值之和。

正则化项是模型各个参数的平方和的开方值。

正则化可以使部分权重为

，产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择；一定程度上，

也可以防止过拟合，当

的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和

正则化类似的效果。

正则化通过权重衰减，可以使所有的权重趋向于

，但不为

，导致模型权重参数较小且较为平滑，防止模型过拟合（

overfitting

）；

正则化的效果是对原最优解的每个元素进行不同比例的放缩；

正则化则会使原最优解的元素产生不同量的偏移，并使某些元素为

，从而产生稀疏性。

参考

https://www.cnblogs.com/zingp/p/10375691.html
https://www.jianshu.com/p/27ac92472205
https://www.cnblogs.com/heguanyou/p/7582578.html
https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975
https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/81276818

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我曾在百度与腾讯担任算法工程师，即将读博。我在19，20年连续推出两版《百面计算机视觉》，帮助了数百位同学们斩获了BAT等大小厂算法Offer。

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