点击率(CTR，Click-Through Rate)以及派生的各种用户行为概率(如商品购买率、推荐好友接受率、短视频3s曝光率等)是广告、推荐、搜索等互联网应用中大家耳熟能详的词汇。以点击率为例，如何建立高效的CTR预估模型是领域从业者们的核心能力，也是头部企业长期重兵投入、持续优化的核心技术。
近些年来，得益于深度学习带来的巨大红利，CTR预估建模技术发展迅速，顶会论文、技术博客等都有大量精妙而深刻的介绍，加之开源浪潮带来的工具普及，这项技术的入门似乎变得极其容易：跑跑已经发表甚至开源的论文模型，调一调结构，或根据自己的业务特点做一些微创新，总是能取得不错的结果。然而，隐藏在这些类似制造业的熟练工序背后，有很多基础性的、细思极恐的知识点，若缺失它们虽不至导致熟练工的技能立刻坍塌，但却总是让技术的大厦存在不小的裂缝。另一方面，产品、运营等角色往往对CTR模型的理解停留在似是而非的直观层面，也有必要做个严肃的普及。
今天我们不讲复杂的建模技术，仅来聊聊CTR模型背后的一些小知识。抛几个问题开开胃：
- CTR的物理意义是什么？用户的点击概率可以被准确预测吗？
- CTR模型为什么普遍采用二分类建模而不是回归建模？
- 训练集中竟然存在矛盾样本，传统machine learning任务似乎闻所未闻，如何理解？
- 为什么采用AUC指标来度量模型性能，而不是传统的模型准确率？
- CTR模型的理论AUC上界是什么，跟什么相关，为什么会存在？
- 模型预测值的准确性是什么意思？为什么需要校准？校准背后的原理是什么？
▐ 1. CTR的微观不可预测性
不失一般性，下文统一以展示广告场景为例来做介绍。点击率，即发生点击的概率，度量的是“某时某刻某地用户对看到的某个广告点击的可能性”。那问题来了，这个可能性能否被准确预测？
简便起见，记“某时某刻某地用户看到某个广告”这个事件为E。根据大数定律，如果我们能够在平行空间将事件E独立运行 N次，并观察到其中T(
)次发生了点击。当N足够大时我们可以断言：
显然
，随着N趋近于无穷大，这个值越逼近真实值。然而事与愿违：客观世界中，我们能且只能观察到事件E发生1次。换句话说，事件E 发生后点击概率的真实值（true-ground）我们永远无法获得，因此微观层面来看CTR是无法被准确预测的，我们的预测只是对真实值的某种猜测。
为了更准确地理解这个结论，我们给出数学化的描述。事件E发生后的结果只能是点击或不点击两种情况，我们用Bernoulli分布来刻画，对应参数为
，其中x表示事件E的所有背景知识，包括用户信息、广告信息、场景及上下文信息，也就是feature。点击的概率
服从参数为
的Bernoulli分布, 其中y代表事件的结果，也就是label。微观视角上看来每个事件E是无关联的，伯努利分布的参数
仅靠对事件E的一次抽样无法准确学习，即：微观层面的CTR不可被准确预测。
▐ 2. CTR建模任务背后的假设
CTR建模的任务是，对于未来的每一个类似事件，我们要给出用户可能发生点击概率的预测值。上一节的分析表明，微观层面是CTR不可被准确预测的。为了解决这个困难，我们只能对问题做适当的简化，引入一些假设，使得问题近似可解。
2.1 CTR建模任务的第一层简化
业界当前主流的做法是假设
跟单个事件E本身无关，仅跟事件的特征有关，即：
。直观地讲，就是假设数据集中所有人的点击行为不再孤立地仅仅跟自己有关，彼此之间有一个内在的共性规律，事件发生后是否被点击（y取值为1或者0）都服从参数为
的伯努利分布。这样，我们观测到的所有事件，就构成了对联合分布(X,Y)的独立同分布采样，进而CTR建模就转化为对
这个条件分布的learning问题，这是可学习的。当然简化的方法不止一种，不同的假设对应不同的模型空间。例如：
认为“是否发生点击”仅跟广告信息有关，此时模型退化为非个性化模型；
认为不同用户对“是否发生点击”的概率服从不同的分布，但同一个用户多次发生的事件服从同一个分布，那么此时的CTR 建模就退化为“一人一世界”模型。
2.2 CTR建模任务的第二层简化
上述假设，建立了对全局样本服从参数为
的Bernoulli分布的学习框架。然而常见的CTR模型给出的预测结果并不是分布，而是某个确定的点击率值。这难不倒我们，求解分布的某种统计量，例如期望均值，是很自然的选择。对于Bernoulli分布而言，其期望值即为参数
。因此在上述假设下我们可以进一步得到：
。注意：这里的
是一个跟x有关的常量。
抛掉过程中所有的细节假设，我们可以从一个全新的角度来理解它：对于事件E，特征为x，它发生点击的概率为一个跟特征x取值有关的量。假设这个关系由函数
给出，即：
。我们对上述表述稍加整理：事件E发生点击（y=1）的概率是其特征 x 的函数，即:
神奇！一下子回到了我们熟悉的CTR模型形式化。虽然看着简单，让我们再回顾下，这个形式化背后事实上是经过了两轮简化的：
- “某时某刻某地用户看到某个广告”，是否会发生点击，不是完全取决于这个用户，它受一个公共的规律限制：所有类似事件发生点击的概率服从一个参数为
的Bernoulli分布，参数
是事件自身属性（特征x）的函数：
。注意：这里的函数
同样要求所有用户都服从；
- 点击率本身是个分布，实际模型输出分布的均值。对于Bernoulli分布而言均值恰好为
，因此预测的点击率为
。
再次提醒：尽管我们通过简化使得CTR任务可以求解，但模型输出的CTR只是在给定假设空间的预测值。预测值不一定等于真实值，因为我们根本不知道真实值是什么，预测仅仅是对真实值的某种猜测。这个猜测距离真实值的距离，取决于简化假设与实际问题相符的程度。
▐ 3. CTR模型的形式化选择
现在很清楚了，CTR模型刻画的是条件分布
，x为特征，y取值为0或1。点击发生的概率为
，取值范围是[0,1]。
有一个容易混淆的小知识点：既然是预测CTR，为什么不采用回归模型？答案：从传统的machine learning视角，我们现在的数据集是
，y取值为0和1，这是一个典型的二分类问题。只是我们要求模型输出的不仅仅是分类的label，同时需要输出属于这个label的概率值。
只是y取值为1 的概率，而不是y的取值。很多人在此处产生了混淆。
进一步地，CTR模型将
参数化，通过data-driven的方法对参数进行拟合。任意选定一个模型形式，如LR或者DNN，都是对(X,Y) 的联合分布或者函数
做了进一步的假设。例如，LR模型假设了数据集
是广义线性可分且
，DNN模型假设了。选择了不同的模型形式，本质是对上一节反复强调的“所有人的点击行为要服从一个公共的规律”这个假设的具象化，换言之，不同的模型形式对应于不同的假设空间。
从原理上来说，在同一个特征体系下不同模型形式对应的模型性能差异，代表着不同假设跟真实情况逼近程度的差异。
▐ 4. CTR模型的性能评价之一：序的准确性
现在，通过收集大量的展现-点击样本构造
数据集即可训练一个CTR模型。一般而言，特征的构造对模型性能有关键性的影响。SOTA 的方法都是采用大规模ID化特征体系，对“某时某刻某地用户看到某个广告”这个事件，从全方面的视角进行刻画，如用户的历史行为有哪些、广告的创意是什么内容、上下文场景信息有什么，甚至今天的天气情况、是不是节假日等信息都充分收集，希望获得影响用户点击行为的所有可能因素，从而让模型能够成功捕捉和预测点击发生的概率。
4.1 矛盾样本现象
一个常常会出现、但传统的machine learning理论却鲜有提及的现象是，训练集中会出现矛盾样本：x相同但y取值不同。例如，同一个用户很短时间里面看了同一个广告2次，一次发生了点击、另一次没有，而在这个时间段里面特征x的取值没有发生任何变化（这是很有可能的，事实上很多实际应用中x都是以静态特征为主，缺乏反映用户状态的实时信息）。这种矛盾样本现象常会引起初学者的困扰。
矛盾样本的根源，来自第二节对问题的简化操作：“假设
跟单个事件E本身无关，仅跟事件的特征有关”。换句话说，我们强行抹掉了每一个独立事件本身的属性，认为所有事件独立同分布。如果把每个事件唯一区分，如精确到纳秒的事件发生时间作为特征加入到x中，那矛盾样本自然就解开了。换个角度来看，矛盾样本的存在说明我们的特征丢掉了原始问题的部分信息，导致训练集是带有噪声的，进而导致模型的准确率永远不可能达到
。事实上在传统的机器学习理论中，因数据存在噪声分类器有个最小错误率的界，即贝叶斯错误率（Bayes error rate）。
有意思的是，跟上一节阐述的“不同模型形式选择差异性代表不同假设跟真实情况逼近程度的差异”类似，特征的设计其实是从另外一个角度引入了对问题的逼近误差。原始的问题中，每一个事件都是独一无二的，换句话说不应该存在矛盾样本。
这个建模框架中，x的设计决定了简化问题的能力天花板，f的设计决定了逼近天花板的程度。
4.2 模型性能评估器的选择
另一个常见问题是，为什么CTR模型的性能度量不采用常见的分类器准确率而是AUC。不用准确率的原因大部分同学都能想到：CTR任务正负样本比例倾斜严重，模型对正样本预测全错的情况下准确率都非常高，换句话说，准确率的评估分辨率太低。使用AUC的原因则相对来说冷僻，这里解释下。
先回到本质，两个CTR模型的好坏从什么角度进行比较？我们没法在微观层面对每一个样本的预测值进行度量，一个可行的选择是从宏观层面对样本的比较关系进行度量。一个样本如果实际发生了点击，那么Y=1 的预测概率应该大于Y=0 的预测概率；反之亦然。进一步放宽些，我们希望数据集中，所有正类样本的预测score 大于负类样本，也就是模型的预测序尽可能逼近真实序。恰好统计领域有一种假设检验叫Wilcoxon-Mann-Witney Test ，它测试的是任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的score 有多大概率大于负类样本的score。有牛人证明了AUC跟Wilcoxon-Mann-Witney Test等价[1]，从而AUC的物理意义就很清晰了：“任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的score大于负类样本的score” 的概率值。
再回过头来看，CTR建模从根源上就是对原始问题的简化产物。既然我们都不知道CTR真实值，那么绝对意义上的预测准确评估也就没有意义，退而求其次，对观测到的数据度量模型预测的结果序，就是个还不错的选择了。当然，除了AUC之外，我们还可以选择其余的评估方式比如lift等，它们对应于其它的物理含义，这里不做展开了。
4.3 理论AUC上界
讲完了AUC就必须要谈谈另一个非常重要的概念：理论AUC上界。
先讲下如何计算：对于给定的训练数据集
，由于矛盾样本的存在，一定有同一个x但不同y的情况。对数据集做个归并操作：所有x相同的样本，统计其CTR 值（统计N个重复样本里面y=1的个数T，CTR=T/N；如果x不存在重复，即N=1时，CTR=y即可），将这个值作为一个理论最优分类器的预测值，计算此时模型的AUC，得到的就是理论AUC上界。AUC上界对应于传统机器学习里的贝叶斯错误率，是有噪声数据下模型学习能够达到的最高水平。
从计算过程可以看出，理论AUC上界度量的其实是样本中的混淆度（即矛盾样本出现的程度），它是给定数据集后模型能力的天花板，可以用来判断模型迭代的边际收益。本质上，理论AUC上界取决于特征的设计。举个例子，如果特征仅仅跟AD有关，与用户或者场景信息无关，这个时候模型其实就退化为一个简单的、广告维度的统计模型，非个性化，显然在这种特征空间下，模型能够达到的AUC天花板将远低于个性化的情况。
另一方面，过高的理论AUC上界也不是好事。例如，将每一个样本id加入到特征里面，原则上理论AUC=1。但这种过细的、不具备泛化能力的特征，会对模型的学习过程造成强烈的干扰，尤其是对DNN这样解空间巨大、局部点遍布的函数簇，反而可能导致模型的性能下降。
▐ 5. CTR模型的性能评价之二：值的准确性
这个话题是最充满迷思、也是我多年来一直反反复复跟很多人强调的。很多外行的同学、甚至不少从事CTR模型技术研发的同学，经常挂在嘴边的一个概念：CTR建模的任务就是做准了。这里的“准”，潜台词是：某个广告，或者某个广告计划，真实CTR是
，你模型预测出来怎么是
，一定是有问题。
相信认真看完前面内容的同学，对这个点应该能突口而出：CTR模型没法评估预测值的准确性，因为我们并不知道真实值。
同学A提出反对的意见：不对呀，真实数据中，我的确可以看到某个广告，曝光了10000次，被点击了100次，
不是难道真实的吗？要准确地回答同学A的疑问，那我们需要引入一个新的视角来审视CTR模型：坐标系。
我们做个详细的剖解：对于模型而言，它是在给定数据集
上拟合函数
，此时模型是在最细粒度的特征空间X来进行参数的拟合学习，换言之，模型学习的时候是基于全空间坐标系（简称FS坐标系）。同学A是在广告维度进行的统计观察，他看到广告的曝光和点击次数，本质上对应的是仅广告特征的坐标系（简称AD坐标系）。坐标系不同，相应统计量背后的数据分布也就不同，因此不可直接比较。
事实上，对于这个广告的10000次曝光，在FS坐标系下模型会预测每个曝光的细粒度pCTR值。注意：这里对每一个曝光的预测pCTR，模型的输入是完整特征集合X，而不是仅仅广告特征。同学A直接将这些pCTR值取平均得到该广告的平均预测pCTR值，相当于是对“除去广告特征之外的特征子空间对应的残差坐标系（简称Res坐标系）”进行了积分操作。只不过这个积分操作是针对某一个特定的广告进行的，而这个广告只是在Res空间的10000次曝光采样。实际广告系统中，广告受特定的人群定向以及出价的影响，其竞得的曝光明显跟全局流量不同分布。那就清楚了：模型预测这10000次曝光的pCTR基于的是对整个Res特征空间的分布拟合，而同学A统计的真实CTR仅仅是站在Res空间中单个广告视角的拟合，这是有偏的，从而导致这10000次曝光上CTR的预测平均值跟真实统计平均值不同。换言之，不是模型不准确，而是你要的东西跟模型学习的东西不一致，各说各话自然说不到一块去。
到这里，我们可以先对CTR模型的值准确性话题做个小结：
- 真正意义上的值准确性是不存在的，因为我们观测不到微观意义上每一个事件的真实CTR值
- 在第2节的假设下我们可以对每一个事件（样本）给出预测的pCTR值，这只是代表在特定坐标系(特征空间)、特定模型形式(模型空间)两种选择下的数学值，是对微观意义上真实CTR的逼近；
- 计算的CTR预测是否准确，需要站在同一个坐标系中。不同的坐标系会进一步带来观测视角的偏差，这个偏差跟模型本身无关。
同学B进一步提出了疑问：你讲的我明白了，但实际广告业务中非常重要的自动出价（auto-bidding）技术，需要模型站在每一个AD的视角给出准确的pCTR值，这样才能帮助AD完成每一个曝光粒度的最优出价。现在你说模型给不了，这该怎么办？
当然是有办法的，先说一个容易的、也是绝大多数团队采用的解法：校准。站在坐标系的角度来看，校准相当于是一个面向特定观测者所在的坐标系构建的级联CTR模型。给定在FS坐标系下训练的模型
，校准进一步站在新的观测坐标系做了变换：
。这很容易理解，我们就不展开讨论了。
值得注意的是，校准本质上是在基础模型之上，引入了第二个学习目标。基础模型的目标是在给定解空间拟合数据、最大化AUC（序的准确性）；校准模型的目标是在后验的统计意义上调整pCTR值的大小，使得预测值尽可能逼近观测到的统计值（值的准确性）。然而，这种两段式建模方式，虽然第二阶段的校准可以尽量保序，从而不影响模型的AUC表现，但两段式建模非最优。因为基础模型预测的pCTR分布代表了模型对数据的归纳；现在既然已经知道有特定维度上这个归纳不准确，end-2-end联合建模显然能够触及更高的天花板。这个方向的工作我们团队正在推进。
▐ 6. 课后思考题
除了以上介绍的这些常见的小知识点，事实上跟CTR相关的还有很多基础但重要的问题，比如：
- 虽然由于坐标系不同，预测的pCTR值跟真实CTR值可以有偏差，但为什么有些维度的特征没有偏差，有些维度偏差却很大？特别地，一些粗粒度特征的偏差一般都不大，为什么？
- 模型为什么容易高估？往往离线评估预测值/统计观测值基本接近1，而在线服务时高于1
- CTR模型的样本来自模型自身的选择，持续的循环是否会导致系统陷入局部陷阱？如何判断？
- CTR模型真的要解决bias问题吗？尽管我对大量长尾的、竞价失败的广告甚至都没有见过其样本，我需要花大力气去优化他们吗？
这些问题留作思考题，欢迎大家积极讨论。
参考文献：
[1] Areas beneath the relative operating characteristics (ROC) and relative operating levels (ROL) curves: Statistical significance and interpretation
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