概率论整理(二)

接概率论整理

连续型随机变量概率密度函数

小王和老婆小白饭后又换了一个新游戏玩法来决定谁洗盘子，小王在电脑中写了一个小程序Math.random()来产生0,1的随机数，让老婆小白进行摇号，如果摇号值在0,0.5之间，则小白洗盘子，否则小王洗盘子。

由于0-1之间有无数个样本点，这是一个几何概型。我们设事件A为小白摇号的值落入0,0.5，则A的概率P(A)=A长度/E长度=(0.5-0)/(1-0)=1/2

现在我们将该题进行拓展，我们设事件B为让值落入a,b

则P(B)=(b-a)/(1-0)=b-a (0≤a<b≤1)

我们设事件C表示值为X0,发生的概率为多少？

我们知道一个点的长度为0，所以P(C)=0，现在问题来了，我们知道a,b这个区间是由一个个点组成的，那么为什么P(B)=b-a而不是0呢？

我们知道a,b区间中有无穷多个点，如果是有限个0相加为0，这是没问题的，但如果是无穷多个0相加，这个结果并不为0。我们来看一道求极限的题目

(1/n^2 2/n^2 ... n/n^2),当n->∞的时候，这里每一个单项都为0，所以它的结果为0吗？答案是错的。把该式进行化简后得

n(n 1)/(2n^2),这是一个无穷/无穷的和式极限，具体可参考高等数学整理(二) 中定积分与和式极限内容。最高次数相同的时候，系数相除，所以

n(n 1)/(2n^2)=1/2

现在我们回到a,b段内的累计概率问题，虽然在此区间内每一个点的概率都趋近于0，我们假设函数如下所示

这里每一个点的函数值都趋近于0，只不过我们为了看的比较明显，画了一个曲线函数。则图形中阴影的面积则为a到b的定积分

f(x)dx，有关定积分的概念请参考高等数学整理(二)

则P(a≤x≤b)=

f(x)dx，这里f(x)称为概率密度函数，这里可以想象成无数个点就是概率，而单个的就是概率密度。而整个式子就是a,b区间的概率。

连续型随机变量的概率密度

，(这里f(x)称为该随机变量的概率密度函数)

非负性：f(x)≥0

规范性：

该性质可用于判断f(x)是否可以作为概率密度函数

离散型、连续型随机变量分布函数主要区别