矩阵分析笔记（九）Gram矩阵

欧氏空间

V是mathbb{R}上的线性空间，定义映射

对于alpha, beta in V，将sigma(alpha, beta)记为<alpha, beta>sigma满足：

1. 对称性：<alpha.beta>=<beta, alpha>
2. （右）齐次性：<alpha, kbeta>=k<alpha,beta>
3. （右）可加性：<alpha, beta gamma>=<alpha,beta> <alpha, gamma>
4. 非负性：<alpha,alpha>≥0<alpha,alpha>=0Leftrightarrowalpha=0

则称sigma为V上的（实）内积，当V是有限维时，称其为欧氏空间（mathbb{R}^n为标准欧氏空间）

实际上alpha是一个向量，beta是一个向量，<alpha, beta>alpha与向量beta的内积，结果是一个实数

实内积的性质

1. （左）齐次性：<kalpha, beta>=k<alpha,beta>
2. （左）可加性：<alpha beta, gamma>=<alpha,gamma> <beta, gamma>
3. <k_1alpha_1 ··· k_salpha_s,beta>=k_1<alpha_1,beta> ···k_s<alpha_s,beta>
4. <alpha,k_1beta_1 ··· k_sbeta_s>=k_1<alpha,beta_1> ···k_s<alpha,beta_s>

复内积

V是mathbb{C}上的线性空间，定义映射

对于alpha, beta in V，将sigma(alpha, beta)记为<alpha, beta>sigma满足：

1. 共轭对称性：<alpha.beta>=overline{<beta, alpha>}
2. （右）齐次性：<alpha, kbeta>=k<alpha,beta>
3. （右）可加性：<alpha, beta gamma>=<alpha,beta> <alpha, gamma>
4. 非负性：<alpha,alpha>≥0<alpha,alpha>=0Leftrightarrowalpha=0

则称sigma为V上的（复）内积，当V是有限维时，称其为酉空间（mathbb{R}^n为标准欧氏空间）

复内积的性质

1. （左）齐次性：<kalpha, beta>=bar{k}<alpha,beta>
2. （左）可加性：<alpha beta, gamma>=<alpha,gamma> <beta, gamma>
3. <k_1alpha_1 ··· k_salpha_s,beta>=overline{k_1}<alpha_1,beta> ···overline{k_s}<alpha_s,beta>
4. <alpha,k_1beta_1 ··· k_sbeta_s>=k_1<alpha,beta_1> ···k_s<alpha,beta_s>

线性组合的内积的矩阵表示

alpha_1,...,alpha_s;beta_1,...,beta_t是mathbb{C}上的内积空间V中的两个向量组，则

$$ begin{aligned} <k_1alpha_1 ··· k_salpha_s,l_1beta_1 ··· l_tbeta_t>\ =(overline{k_1},...,overline{k_s})begin{bmatrix}<alpha_1,beta_1>&cdots &<alpha_1,beta_t>\ vdots & ddots &vdots \<alpha_s,beta_1> &cdots & <alpha_s,beta_t>end{bmatrix}begin{bmatrix}l_1\ vdots \ l_tend{bmatrix} end{aligned} $$

Gram矩阵

alpha_1,...,alpha_s;beta_1,...,beta_t是mathbb{C}上的内积空间V中的两个向量组，则

称为alpha_1,...,alpha_s;beta_1,...,beta_t的协Gram矩阵，记为G(alpha_1,...,alpha_s;beta_1,...,beta_t)

alpha_1,...,alpha_s是mathbb{C}上的内积空间V中的一个向量组，则

称为alpha_1,...,alpha_s的Gram矩阵，记为G(alpha_1,...,alpha_s)

alpha_1,...,alpha_s是mathbb{C}^n中的一个向量组，记A=(alpha_1,...,alpha_s)，则

其中，A^H=(bar{A})^T=overline{(A^T)}

alpha_1,...,alpha_s是mathbb{R}^n中的一个向量组，记A=(alpha_1,...,alpha_s)，则

alpha_1,...,alpha_s;beta_1,...,beta_t是mathbb{C}上的内积空间V中的两个向量组，如果alpha_1,...,alpha_s可由beta_1,...,beta_t线性表出，且

则

Gram矩阵的性质

1. Rank(G)=rank(alpha_1,...,alpha_s)
2. Hermite性：G^H=G
3. 非负性：forall xin mathbb{C}^s，复二次型x^HGx≥0，并且G正定Leftrightarrow alpha_1,...,alpha_s线性无关

度量矩阵

alpha_1,...,alpha_n是mathbb{C}上的n维内积空间V中的一个基，则Gram矩阵G(alpha_1,...,alpha_n)称为基alpha_1,...,alpha_n的度量矩阵。向量的内积由度量矩阵唯一决定

若alpha,beta in V，alpha,beta在基alpha_1,...,alpha_n下的坐标为x,yin mathbb{C}^n，则