如果一个女生说，她集齐了十二个星座的前男友，我们应该如何估计她前男友的数量？
- 小学生：这个问题相当简单
公式：
数据：
{白羊座, 金牛座, 双子座, 巨蟹座, 狮子座, 处女座, 天秤座, 天蝎座, 射手座, 摩羯座, 水瓶座, 双鱼座}
实现：
N@# HarmonicNumber@# &@12
答案：
37.2385
- 初中生：不知道要考虑分布吗？
公式：
数据：
n=12
实现：
DiscretePlot[c!StirlingS2[n-1,c-1]/c^n/.c->12,{n,1,100}]
答案：
有10%的把握少于17个，有50%的把握少于35个。 有90%的把握少于55个，有99%的把握少于82个。
- 高中生：知不知道人群中星座分布比例不均？
公式：
数据：
额外假设1：题主是中国人，所以使用中国的星座分布数据
额外假设2：题主是适龄青年，所以使用年龄18-36的星座分布数据
第一个是白羊座，然后是金牛，以此类推...
p={0.1028,0.0911,0.0843,0.0822,0.0848,0.085,0.0857,0.0795,0.0753,0.0761,0.0808,0.073}
注1：不要吐槽总和不是1，因为有舍入误差...
实现：
NIntegrate[1-Fold[Times,1,1-E^(-#t)&/@p],{t,0,9527}]
答案：
37.7424，就比均匀分布多了0.5个....
可以类比均值不等式理解为何分布默认均匀的时候最小
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- 大学生：难道不知道上一任男友对下一次决策有影响吗？
比如....哦不...显然 上任是处女座，估摸着下任怎么着也不会是处女座了... 上任是天蝎座，那么我打包票，你不会也不敢有下任了....... 然后顺便把上面的星座分布不均也考虑进去...
所以我们可以用一个转移矩阵来刻画这个情况. 或者画成12个节点的加权有向图...
然后求这个加权图G的随机游走覆盖时间(Cover Time)
考虑到严谨性我应该证明一下上面的一堆公式，不过上面三个公式每个都能写篇大论文，短短篇幅说不清，所以解释就化归到这个问题一并解决...
随机游走
- 把12星座画成12个节点，然后可以作为下任的话就画个箭头
- 箭头有个粗细程度，这个叫加权，加权决定了选这个下任的概率有多大，实际概率波动不大所以不明显
- 分析这144个关系全都画出来就是上面这张图
- 选男友的过程数学上被称为图G上的随机游走
Cover Time
- 这些节点全部经过至少一遍所需要的时间叫做Cover Time
- 子问题包括各种著名概率问题，生日问题啊，赠券收集啊等等...
- 衍生问题还有复遍历，多重遍历什么的，可以有效用于氪金估计...
- 退化问题，退化为Tree的话可以相当有效的进行爬虫策略优化...
显然上面三个公式都是这个问题的特例
1、小学生：12阶非加权完全图的Cover Time
2、初中生：12阶非加权完全图指定Cover程度后的Time分布
3、高中生：12阶加权完全图的Cover Time
这个问题数学上来说的话不难，穷举所有路径首次通过时间的分布的平均值的交错和就行了...写成公式就是这样：
记A为G的所有可能通过的路径
虽然能写出公式然而并没有什么用，求解精确值还是个世界难题...
写成代码是这个样子的，复杂度足够让算法学家爆气...
幸好星座只有12个我的小CPU还能踉跄跑完...56个民族的话到宇宙灭亡也跑不完
而且蒙特卡洛效果也不太好，小规模精度不够，大规模基本跑不完...
一般可以用Matthews逼近来稍稍有效的求一下上下界...
见Markov Chains and Mixing Times一书
哦，忘记说计算结果了，初始节点对最后的结果影响不小，所以第一个男友很重要啊 第一任是处女座的话最小，只要31.64个，其他都在在35-38之间... -----------------------------------------
- 社会青年：这种女孩子我见得多了
某些数理邪 教组织啊，宣传什么
法则，就那个传说中能找到最理想男友的法则...
无责任超链接：关于配偶选择理论的详细解释以及推广 http://www.kylen314.com/archives/5234
人一生中会遇到大约40有可能进行交往的对象，然后可以取前
也就是13个人为实验组，考察下质量然后放弃掉，然后后面27个只要有超过前13个中最强的就嫁了吧....
Well.....So,Reasons to believe that you are the 13th rebound guy... 简单地说就是找12个星座的男生采样比较均匀...
