矩阵分析（十一）酉矩阵、正交矩阵

2020-11-24 11:12:09 浏览数 (1)
酉矩阵

若n阶复矩阵A满足

A^HA=AA^H=E

则称A是酉矩阵，记为Ain U^{ntimes n}

设Ain C^{ntimes n}，则A是酉矩阵的充要条件是A的n个列（或行）向量是标准正交向量组

酉矩阵的性质
  1. A^{-1}=A^Hin U^{n times n}
  2. mid det Amid=1
  3. A^Tin U^{ntimes n}
  4. AB, BAin U^{ntimes n}
  5. 酉矩阵的特征值的模为1
  6. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵
酉变换

设V是n维酉空间，mathscr{A}是V的线性变换，若forall alpha, beta in V都有

(mathscr{A}(alpha), mathscr{A}(beta))=(alpha,beta)
正交矩阵

若n阶实矩阵A满足

A^TA=A^A=E

则称A是正交矩阵，记为Ain E^{ntimes n}

设Ain R^{ntimes n}，则A是正交矩阵的充要条件是A的n个列（或行）向量是标准正交向量组

正交矩阵的性质
  1. A^{-1}=A^Tin E^{ntimes n}
  2. det A=±1
  3. AB,BAin E^{ntimes n}
正交变换

设V是n维欧氏空间，若线性变换mathscr{B}满足forall alpha,betain V都有

(mathscr{B}(alpha), mathscr{B}(beta))=(alpha, beta)

设mathscr{A}是酉空间（或欧式空间）V的线性变换，则下列命题等价：

  1. mathscr{A}是酉变换（或正交变换）
  2. ||mathscr{A}(alpha)||=||alpha||，其中forall alpha in V
  3. sigma将V的标准正交基变到标准正交基
  4. 酉变换（或正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
满秩矩阵的QR分解

若n阶实矩阵Ain mathbb{C}^{ntimes n}满秩，且

A = [alpha_1,...,alpha_n]

其中alpha_1,...,alpha_n是mathbb{C}^{ntimes n}中线性无关向量组

正交化

QR分解定理：Ain mathbb{C}^{ntimes n}，则存在酉矩阵Q和正线上三角阵R，使

A=QR

且分解唯一

alpha

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