【剑指Offer】14. 剪绳子

题目描述

把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。

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n = 2
return 1 (2 = 1   1)

n = 10
return 36 (10 = 3   3   4)

解题思路

贪心

尽可能多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。

证明：当 n >= 5 时，3(n - 3) - n = 2n - 9 > 0，且 2(n - 2) - n = n - 4 > 0。因此在 n >= 5 的情况下，将绳子剪成一段为 2 或者 3，得到的乘积会更大。又因为 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，所以剪成一段长度为 3 比长度为 2 得到的乘积更大。

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public class Solution {
    /**
    * 解题思路，找出最优解的规律
    * 当target等于1，2，3的时候，结果是固定的
    * 当target大于3的时候，可以看以下数据
    * target=4, 最优解：2 2
    * target=5, 最优解：3 2
    * target=6, 最优解：3 3
    * target=7, 最优解：3 2 2
    * target=8, 最优解：3 3 2
    * target=9, 最优解：3 3 3
    * target=10,最优解：3 3 2 2
    * target=11,最优解：3 3 3 2
    * target=12,最优解：3 3 3 3
    * target=13,最优解：3 3 3 2 2
    * target=14,最优解：3 3 3 3 2
    * target=15,最优解：3 3 3 3 3
    *
    * 所以不难发现3和2的个数规律
    */
    public int cutRope(int target) {
        if(target < 2)
            return 0;
        if(target == 2)
            return 1;
        if(target == 3)
            return 2;
        
        int of3 = target / 3;
        if(target - of3 * 3 == 1)
            of3--;
        int of2 = (target - of3 * 3) / 2;
        
        return (int)(Math.pow(3, of3)) * (int)(Math.pow(2, of2));
    }
}

动态规划

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public class Solution {
    public int cutRope(int n) {
        int[] dp = new int[n   1];
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i  )
            for (int j = 1; j < i; j  )
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), dp[j] * (i - j)));
        return dp[n];
    }
}

动态规划

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