推导过程如下(摘自Acdreamer博客)
这个为费马小定理，m为素数是费马小定理的前置条件。
求a/b=x(mod M）
只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a*b1 (mod M)，只能来以乘换除。 费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M) 于是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M) 于是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)
求a/b=x(mod M)
用扩展欧几里德算法算出b1,然后计算a*b1(mod M)
exgcd(b,M,x,y); b1=x;
当p是个质数的时候有 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
证明：
设x = p % a,y = p / a 于是有 x y * a = p (x y * a) % p = 0 移项得 x % p = (-y) * a % p x * inv(a) % p = (-y) % p inv(a) = (p - y) * inv(x) % p 于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1
代码语言：javascript复制 1 #include<cstdio>
2 typedef long long LL;
3 LL inv(LL t, LL p)
4 {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下
5 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
6 }
7 int main()
8 {
9 LL a, p;
10 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p))
11 {
12 printf("%lldn", inv(a%p, p));
13 }
14 }它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元
代码语言：javascript复制 1 #include<cstdio>
2 const int N = 200000 5;
3 const int MOD = (int)1e9 7;
4 int inv[N];
5 int init()
6 {
7 inv[1] = 1;
8 for(int i = 2; i < N; i )
9 inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
10 }
11 int main()
12 {
13 init();
14 }
