《机器学习》学习笔记（四）——用Python代码实现单变量线性回归、多变量线性回归；数据评估之交叉验证法、留出法、自助法

机器学习(Machine Learning)是一门多学科交叉专业，涵盖概率论知识，统计学知识以及复杂算法知识，使用计算机作为工具并致力于真实实时的模拟人类学习方式， 并将现有内容进行知识结构划分来有效提高学习效率。本专栏将以学习笔记形式对《机器学习》的重点基础知识进行总结整理，欢迎大家一起学习交流！ 专栏链接：《机器学习》学习笔记

目录

一、单变量线性回归

提出问题

分析问题

解决方案

模型评价

二、多变量线性回归

1：基于LinearRegression的实现

2：基于成本函数和梯度下降的实现

三、数据评估之交叉验证法、留出法、自助法

1：SVM分类器

2：K近邻分类器

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一、单变量线性回归

提出问题

假设某披萨店的披萨价格和披萨直径之间有下列数据关系：

根据上面的训练数据，我们能否推断(预测)出某个直径的披萨可能的售价呢？例如，12英寸的披萨可能售卖多少钱？

分析问题

把直径看成自变量?(以后也称特征值)，价格看成因变量?，可以先通过作图看出二者的关系：

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def initPlot():
    plt.figure()        #先准备好一块画布
    plt.title('Pizza Price vs Diameter')  #表名字
    plt.xlabel('Diameter')  #横坐标名字
    plt.ylabel('Price')   #纵坐标名字
    plt.axis([0, 25, 0, 25])        # 设置x轴和y轴的值域均为0~25
    plt.grid(True)    #表内有栅格
    return plt

plt = initPlot()    #画图
xTrain = np.array([6,8,10,14,18])
yTrain = np.array([7,9,13,17.5,18])
plt.plot(xTrain, yTrain, 'k.')  #k是黑色，.是以点作为图上显示
plt.show();    #将图显示出来

可以看到：

• 价格?随着直径?的变化，大致呈现线性变化；
• 如果根据现有的训练数据能够拟合出一条直线，使之与这些训练数据的各点都比较接近，那么根据该直线，就可以计算出在任意直径披萨的价格。

解决方案

采用Python scikit-learn库中提供的sklearn.linear_model.LinearRegression对象来进行线性拟合

• 思路 拟合出来的直线可以表示为：ℎ?(?)=?0?0 ?1?1=?0 ?1?1hθ(x)=θ0x0 θ1x1=θ0 θ1x1
  • ?0x0 表示Intercept Term，一般设置为1即可
  • ?1x1 表示影响计算结果的的第一个因素(或称特征，在本例中就是直径)。在单变量线性回归中，只有?1x1
  • ?0θ0表示截距，?1θ1表示斜率。这两个参数都是需要通过拟合求出来的
  • ℎ?(?)hθ(x)称为判别函数(Hypothesis Function)或判别式，也就是线性拟合的模型结果函数
• 步骤
  • 准备训练数据 xTrain = np.array([6,8,10,14,18])[:, np.newaxis] yTrain = np.array([7,9,13,17.5,18]) LinearRegression支持单变量和多变量回归。对于多变量回归，xTrain显然是矩阵形式。因此，即使只有一个变量，LinearRegression也要求输入的特征值以矩阵形式(列向量)存在。 在使用LinearRegression时，不需要显式设置Intercept Item；它会自动扩展该列
  • 创建模型对象 model = LinearRegression()
  • 执行拟合 hypothesis = model.fit(xTrain, yTrain) 判别函数(hypothesis)对象中包含了大量的属性和方法，可用于针对该模型的后续操作
  • 获取判别函数的参数(截距和斜率) print("theta0=", hypothesis.intercept_) print("theta1=", hypothesis.coef_)
  • 预测新的数据 model.predict([[12]]) model.predict([[0],[10],[14],[25]]) 将待预测的数据放置在一个矩阵(或列向量)中，可以批量预测多个数据
• 结果 根据判别函数，绘制拟合直线，并同时显示训练数据点。 拟合的直线较好的穿过训练数据，根据新拟合的直线，可以方便的求出各个直径下对应的价格(预测结果)。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression

xTrain = np.array([6, 8, 10, 14, 18])[:, np.newaxis]  # 应以矩阵形式表达(对于单变量，矩阵就是列向量形式)
yTrain = np.array([7, 9, 13, 17.5, 18])  # 为方便理解，也转换成列向量

model = LinearRegression()  # 创建模型对象
hypothesis = model.fit(xTrain, yTrain)  # 根据训练数据拟合出直线(以得到假设函数)
print("theta0=", hypothesis.intercept_)  # 截距
print("theta1=", hypothesis.coef_)  # 斜率

print("预测直径12的披萨价格：", model.predict([[12]]))  # 预测直径为12的披萨价格
xNew = np.array([0, 10, 14, 25])[:, np.newaxis]  # 也可以批量预测多个直径，注意要以列向量形式表达
yNew = model.predict(xNew)
print("预测新数据：", xNew)
print("预测结果：", yNew)


def initPlot():
    plt.figure()
    plt.title('Pizza Price vs Diameter')
    plt.xlabel('Diameter')
    plt.ylabel('Price')
    plt.axis([0, 25, 0, 25])
    plt.grid(True)
    return plt


plt = initPlot()
plt.plot(xTrain, yTrain, 'k.')
plt.plot(xNew, yNew, 'g-')  # 画出通过这些点的连续直线
plt.show()

模型评价

拟合出来的判别函数效果如何：对训练数据的贴合度如何？对新数据的预测准确度如何？ 先给出下列定义：

• 残差(residuals)：判别函数计算结果与实际结果之间的差异，如下图中的红色线段部分。一般是计算残差平方和

• R方(r-squared)：又称确定系数(coefficient of determination)。在通过训练数据得出了判别函数后，对于新的数据，如何评估该假设函数的表现呢？可以使用与训练数据不同的另一组数据（称为检验/测试数据）来进行评估。R方就是用来进行评估的一种计算方法。在Pyhton的scikit-learn中，是这样定义R方的（针对给定的测试数据）： ?????=∑??=1(?(?)−?⎯⎯⎯)2SStot=∑i=1m(y(i)−y¯)2 ?????=∑??=1[?(?)−ℎ?(?(?))]2SSres=∑i=1m[y(i)−hθ(x(i))]2 ?2=1−??????????R2=1−SSresSStot
  • ?m：测试数据集中的数据组数
  • ?(?)y(i)：测试数据集中第?i组数据的?y值（实际价格）
  • ?⎯⎯⎯y¯：测试数据集中?y的平均值
  • ℎ?(?(?))hθ(x(i))：将?(?)x(i)代入到判别函数计算的结果，也就是根据模型算出的?y值（计算价格）
  • ?????SStot：针对测试数据计算出来偏差平方和
  • ?????SSres：针对测试数据计算出来的残差平方和
  • 一般来说，R方越大(不会超过1)，说明模型效果越好。如果R方较小或为负，说明效果很差
• 在Python中如何对单变量线性回归模型的效果进行评估
  • 手动计算 假设hpyTrain代表针对训练数据的预测?y值，hpyTest代表针对测试数据的预测?y值
    • 训练数据残差平方和：ssResTrain = sum((hpyTrain - yTrain) ** 2)
    • 测试数据残差平方和：ssResTest = sum((hpyTest - yTest) ** 2)
    • 测试数据偏差平方和：ssTotTest = sum((yTest - np.mean(yTest)) ** 2)
    • R方：Rsquare = 1 - ssResTest / ssTotTest
  • LinearRegression对象提供的方法
    • 训练数据残差平方和：model._residues
    • R方：model.score(xTest, yTest)

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression

xTrain = np.array([6,8,10,14,18])[:,np.newaxis]         # 训练数据(直径)
yTrain = np.array([7,9,13,17.5,18])                     # 训练数据(价格)
xTest = np.array([8,9,11,16,12])[:,np.newaxis]          # 测试数据(直径)
yTest = np.array([11,8.5,15,18,11])                     # 测试数据(价格)

model = LinearRegression()
hypothesis = model.fit(xTrain, yTrain)
hpyTrain = model.predict(xTrain)
hpyTest = model.predict(xTest)                          # 针对测试数据进行预测

ssResTrain = sum((hpyTrain - yTrain)**2)                # 手动计算训练数据集残差
print(ssResTrain)                                       # 8.7478
print(model._residues)                                  # Python计算的训练数据集残差

ssResTest = sum((hpyTest - yTest)**2)                   # 手动计算测试数据集残差
ssTotTest = sum((yTest - np.mean(yTest))**2)            # 手动计算测试数据集y值偏差平方和
Rsquare = 1 - ssResTest / ssTotTest                     # 手动计算R方
print(Rsquare)                                          # 0.662
print(model.score(xTest, yTest))                        # Python计算的训练数据集的R方

# corrcoef函数是在各行元素之间计算相关性，所以x和y都应是行向量
print(np.corrcoef(xTrain.T, yTrain.T))            # 计算训练数据的相关性：0.954
print(np.corrcoef(xTest.T, yTest.T))              # 计算测试数据的相关性：0.816

def initPlot():
    plt.figure()
    plt.title('Pizza Price vs Diameter')
    plt.xlabel('Diameter')
    plt.ylabel('Price')
    plt.axis([0, 25, 0, 25])
    plt.grid(True)
    return plt

plt = initPlot()
plt.plot(xTrain, yTrain, 'r.')          # 训练点数据(红色)
plt.plot(xTest, yTest, 'b.')            # 测试点数据(蓝色)
plt.plot(xTrain, hpyTrain, 'g-')        # 假设函数直线(绿色)
plt.show()

二、多变量线性回归

在之前的但变量线性回归实验中，披萨价格仅与直径有关，按照这一假设，其预测的结果并不令人满意(R方=0.662)。本章再引入一个新的影响因素：披萨辅料级别(此处已经把辅料级别调整成数值，以便能够进行数值计算)。训练数据如下：

另外提供测试数据如下：

如何使用线性回归训练数据，并且判断是否有助于提升预测效果呢？

1：基于LinearRegression的实现

与单变量线性回归类似，但要注意训练数据此时是(是训练数据条数，是自变量个数)，在本例中，是5x2的矩阵：xTrain = np.array([[6,2],[8,1],[10,0],[14,2],[18,0]])

针对测试数据的预测结果，其R方约为0.77，已经强于单变量线性回归的预测结果

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''' 使用LinearRegression进行多元线性回归 '''

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

xTrain = np.array([[6, 2], [8, 1], [10, 0], [14, 2], [18, 0]])  # 无需手动添加Intercept Item项
yTrain = np.array([7, 9, 13, 17.5, 18])

xTest= np.array([[8, 2], [9, 0], [11, 2], [16, 2], [12, 0]])
yTest = np.array([11, 8.5, 15, 18, 11])

model = LinearRegression()
model.fit(xTrain, yTrain)
hpyTest = model.predict(xTest)

print("假设函数参数：", model.intercept_, model.coef_)
print("测试数据预测结果与实际结果差异：", hpyTest - yTest)
print("测试数据R方：", model.score(xTest, yTest))

2：基于成本函数和梯度下降的实现

对于一个自变量?1的情形，?与?的关系用一条直线就可以拟合 (假设有一定线性相关性)。对于有两个自变量?1,?2x1,x2的情形， ?与?的关系就需要用一个平面来拟合。如果有更多的自变量，虽然 无法在三维空间中展现，但仍然可以用数学的方式来描述它们之间 的关系。

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''' 批量梯度下降法实现多元线性回归 '''

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import bgd_resolver

def costFn(theta, X, y):                           # 成本函数
    temp = X.dot(theta) - y
    return (temp.T.dot(temp)) / (2 * len(X))

def gradientFn(theta, X, y):                       # 根据成本函数，分别对x0,x1...xn求导数(梯度)
    return (X.T).dot(X.dot(theta) - y) / len(X)


xTrainData = np.array([[6, 2], [8, 1], [10, 0], [14, 2], [18, 0]])
yTrain = np.array([7, 9, 13, 17.5, 18])
xTrain = np.c_[xTrainData, np.ones(len(xTrainData))]

np.random.seed(0)
init_theta = np.random.randn(xTrain.shape[1])
theta = bgd_resolver.batch_gradient_descent(costFn, gradientFn, init_theta, xTrain, yTrain) 
print("theta值", theta)

xTestData = np.array([[8, 2], [9, 0], [11, 2], [16, 2], [12, 0]])
yTest = np.array([11, 8.5, 15, 18, 11])
xTest = np.c_[xTestData, np.ones(len(xTestData))]
print("测试数据预测值与真实值的差异：", xTest.dot(theta) - yTest)

rsquare = bgd_resolver.batch_gradient_descent_rsquare(theta, xTest, yTest)
print("测试数据R方：", rsquare)

三、数据评估之交叉验证法、留出法、自助法

1：SVM分类器

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from sklearn.model_selection import train_test_split,cross_val_score,cross_validate # 交叉验证所需的函数(train_test_split对数据集和训练集做数据上的分割；cross_val_score做交叉验证；cross_validate也是做交叉验证)
from sklearn.model_selection import KFold,LeaveOneOut,LeavePOut,ShuffleSplit # 交叉验证所需的子集划分方法（KFold做k折交叉验证；LeaveOneOut留一法；LeavePOut留P个；ShuffleSplit打乱）
from sklearn.model_selection import StratifiedKFold,StratifiedShuffleSplit # 分层分割（StratifiedKFold使得分得的和原数据集中的比例及数目一致）
from sklearn.model_selection import GroupKFold,LeaveOneGroupOut,LeavePGroupsOut,GroupShuffleSplit # 分组分割
from sklearn.model_selection import TimeSeriesSplit # 时间序列分割
from sklearn import datasets  # 自带数据集
from sklearn import svm  # SVM算法（分类算法）
from sklearn import preprocessing  # 预处理模块
from sklearn.metrics import recall_score  # 模型度量（查全率、查准率）
import numpy as np



iris = datasets.load_iris()  # 加载数据集（系统自带的“花”数据集）
print('样本集大小：',iris.data.shape,iris.target.shape) #data是属性，targrt是标签，shape看大小

# ===================================数据集划分,训练模型==========================
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(iris.data, iris.target, test_size=0.4, random_state=0) #40%作为测试集 # 交叉验证划分训练集和测试集.test_size为测试集所占的比例
print('训练集大小：',X_train.shape,y_train.shape)  # 训练集样本大小
print('测试集大小：',X_test.shape,y_test.shape)  # 测试集样本大小
clf = svm.SVC(kernel='linear', C=1).fit(X_train, y_train) # 使用训练集训练模型
print('准确率：',clf.score(X_test, y_test))  # 计算测试集的度量值（准确率）


#  如果涉及到归一化，则在测试集上也要使用训练集模型提取的归一化函数。
scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X_train)  # 通过训练集获得归一化函数模型。（也就是先减几，再除以几的函数）。在训练集和测试集上都使用这个归一化函数
X_train_transformed = scaler.transform(X_train)
clf = svm.SVC(kernel='linear', C=1).fit(X_train_transformed, y_train) # 使用训练集训练模型
X_test_transformed = scaler.transform(X_test)
print('归一化后的准确率：', clf.score(X_test_transformed, y_test))  # 计算测试集的度量值（准确度）

# ===================================直接调用交叉验证评估模型==========================
clf = svm.SVC(kernel='linear', C=1)
scores = cross_val_score(clf, iris.data, iris.target, cv=5)  #cv为迭代次数。
print('交叉验证评估分数：', scores)  # 打印输出每次迭代的度量值（准确度）
print("Accuracy: %0.2f ( /- %0.2f)" % (scores.mean(), scores.std() * 2))  # 获取置信区间。（也就是均值和方差）

# ===================================多种度量结果======================================
scoring = ['precision_macro', 'recall_macro'] # precision_macro为精度（查准率），recall_macro为召回率（查全率）
scores = cross_validate(clf, iris.data, iris.target, scoring=scoring, cv=5, return_train_score=True)
sorted(scores.keys())  #排序
print('测试结果：',scores)  # scores类型为字典。包含训练得分，拟合次数， score-times （得分次数）


# ==================================K折交叉验证、留一交叉验证、留p交叉验证、随机排列交叉验证==========================================
# k折划分子集
kf = KFold(n_splits=2)
for train, test in kf.split(iris.data):
    print("k折划分：%s %s" % (train.shape, test.shape))
    break

# 留一划分子集
loo = LeaveOneOut()
for train, test in loo.split(iris.data):
    print("留一划分：%s %s" % (train.shape, test.shape))
    break

# 留p划分子集

lpo = LeavePOut(p=2)
for train, test in lpo.split(iris.data):
    print("留p划分：%s %s" % (train.shape, test.shape))
    break

# 随机排列划分子集
ss = ShuffleSplit(n_splits=3, test_size=0.25,random_state=0)
for train_index, test_index in ss.split(iris.data):
    print("随机排列划分：%s %s" % (train.shape, test.shape))
    break

# ==================================分层K折交叉验证、分层随机交叉验证==========================================
skf = StratifiedKFold(n_splits=3)  #各个类别的比例大致和完整数据集中相同
for train, test in skf.split(iris.data, iris.target):
    print("分层K折划分：%s %s" % (train.shape, test.shape))
    break

skf = StratifiedShuffleSplit(n_splits=3)  # 划分中每个类的比例和完整数据集中的相同
for train, test in skf.split(iris.data, iris.target):
    print("分层随机划分：%s %s" % (train.shape, test.shape))
    break


# ==================================组 k-fold交叉验证、留一组交叉验证、留 P 组交叉验证、Group Shuffle Split==========================================
X = [0.1, 0.2, 2.2, 2.4, 2.3, 4.55, 5.8, 8.8, 9, 10]
y = ["a", "b", "b", "b", "c", "c", "c", "d", "d", "d"]
groups = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3]

# k折分组
gkf = GroupKFold(n_splits=3)  # 训练集和测试集属于不同的组
for train, test in gkf.split(X, y, groups=groups):
    print("组 k-fold分割：%s %s" % (train, test))

# 留一分组
logo = LeaveOneGroupOut()
for train, test in logo.split(X, y, groups=groups):
    print("留一组分割：%s %s" % (train, test))

# 留p分组
lpgo = LeavePGroupsOut(n_groups=2)
for train, test in lpgo.split(X, y, groups=groups):
    print("留 P 组分割：%s %s" % (train, test))

# 随机分组
gss = GroupShuffleSplit(n_splits=4, test_size=0.5, random_state=0)
for train, test in gss.split(X, y, groups=groups):
    print("随机分割：%s %s" % (train, test))


# ==================================时间序列分割==========================================
tscv = TimeSeriesSplit(n_splits=3)
TimeSeriesSplit(max_train_size=None, n_splits=3)
for train, test in tscv.split(iris.data):
    print("时间序列分割：%s %s" % (train, test))

2：K近邻分类器

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from sklearn import datasets	#自带数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split,cross_val_score	#划分数据 交叉验证
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier  #一个简单的模型，只有K一个参数，类似K-means
import matplotlib.pyplot as plt

iris = datasets.load_iris()		#加载sklearn自带的数据集

X = iris.data 			#这是数据
y = iris.target 		#这是每个数据所对应的标签

train_X,test_X,train_y,test_y = train_test_split(X,y,test_size=1/3,random_state=3)	#这里划分数据以1/3的来划分 训练集训练结果 测试集测试结果

k_range = range(1,31)
cv_scores = []		#用来放每个模型的结果值

for n in k_range:
    knn = KNeighborsClassifier(n)   #knn模型，这里一个超参数可以做预测，当多个超参数时需要使用另一种方法GridSearchCV
    scores = cross_val_score(knn,train_X,train_y,cv=10,scoring='accuracy') #accuracy准确率 #cv：选择每次测试折数  accuracy：评价指标是准确度,可以省略使用默认值，具体使用参考下面。
    cv_scores.append(scores.mean())

plt.plot(k_range,cv_scores)
plt.xlabel('K')
plt.ylabel('Accuracy')		#通过图像选择最好的参数
plt.show()
best_knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3)	# 选择最优的K=3传入模型
best_knn.fit(train_X,train_y)			#训练模型
print(best_knn.score(test_X,test_y))	#看看评分

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END

线性回归 编程算法

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