2021-02-07 14:34:09
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图1所示为弧长法求解过程，若以下标
i表示第
i个荷载步，上标
j表示第
i个荷载步下的第
j次迭代，显然，当荷载增量
delta_i^j=0,则迭代路径为一条水平直线，即为著名的牛顿-拉夫逊方法。对于图2所示的求解问题，牛顿-拉夫逊方法不能跨过极值点得到完整的荷载-位移曲线。因此，弧长法最重要的就是求荷载增量。
而弧长法的荷载增量
delta_i^j是变化的，可自动控制荷载，这样在原方程组的基础之上又增加了一个未知数，因此需要额外补充一个方程。如图3所示，某一荷载步迭代至收敛时总有
(lambda_1- lambda_0)^2 (mathbf u_1 -mathbf u_0)^{mathbf T}(mathbf u_1 -mathbf u_0) = Delta s^2
考虑系统方程组
begin{split}
mathbf d(mathbf u ,lambda ) & = mathbf f^{int} - lambda mathbf f_0^{ext} \f(mathbf u ,lambda ) & = (lambda- lambda_0)^2 (mathbf u -mathbf u_0)^{mathbf T}(mathbf u -mathbf u_0) - Delta s^2 \
end{split}
在迭代过程中，
f,d逐渐趋于0，如果这两个值都为0，则说明该荷载步的迭代已收敛。在上一个迭代收敛点(如图1中的
(mathbf u_0, lambda_0))将
mathbf d(mathbf u ,lambda ),f(mathbf u ,lambda ) 作一阶泰勒展开
begin{bmatrix}
mathbf K_{T} & -mathbf f_0^{ext} \
2(mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T} & 2(lambda- lambda_0)\
end{bmatrix}begin{bmatrix}
Delta {mathbf u} \
Delta {lambda} \
end{bmatrix}
=
begin{bmatrix}
lambda mathbf f_0^{ext}-mathbf f^{int}\
-f\
end{bmatrix}即
begin{split}
mathbf K_{T}Delta {mathbf u} &= Delta {lambda}mathbf f_0^{ext} lambda mathbf f_0^{ext} -mathbf f^{int}\
&=Delta {lambda}mathbf f_0^{ext} -mathbf f^{Ⅱ} \-f &= 2( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T} Delta {mathbf u} 2(lambda- lambda_0)Delta lambda\end{split}
令
Delta mathbf u = Deltalambda Deltamathbf u^{ext} Delta mathbf u^{Ⅱ} ， 则
2( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T} (Deltalambda Deltamathbf u^{ext} Delta mathbf u^{Ⅱ} ) 2(lambda- lambda_0)Delta lambda = -f quad(a)
2Delta lambda[( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Deltamathbf u^{ext} (lambda- lambda_0)] = -f 2( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Delta mathbf u^{Ⅱ} quad(b)
Delta lambda = frac {-f 2( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Delta mathbf u^{Ⅱ}}{2[( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Deltamathbf u^{ext} (lambda- lambda_0)]} quad(c)弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法，使用弧长法，可以跟踪复杂的荷载-变形路径。
