2021-02-07 14:34:26
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非线性 | 弧长法(Arc-Length Methods)
对于一个非线性有限元模型，只有一个自由度
mathbf u，外荷载
mathbf f_0^{ext} =1，内力为
mathbf f^{int}=-4(mathbf u-1)^2 4
切线刚度矩阵
mathbf K_{T} =frac {partial{mathbf f^{int}}}{partial{mathbf u}} =-8(mathbf u-1)如图所示，假设某一荷载步迭代收敛时荷载因子
lambda_0=3.84，
mathbf u_0=0.8。接下来的荷载步以
Deltalambda_1=0.26开始。
lambda_1 = lambda_0 Deltalambda_1 = 3.84 0.26=4.1
lambda mathbf f_0^{ext}-mathbf f^{int}=4.1*1 4(mathbf u_0-1)^2-4 =0.26
mathbf K_{T} =-8(mathbf u_0-1) = 1.6
Delta mathbf u_1 =frac {0.26}{1.6}=0.1625
mathbf u_1 = 0.8 0.1625 = 0.9625
Delta s^2 = Delta lambda_1^2 Delta mathbf u_1^2 =0.09401
f=(4.1-3.84)^2 (0.9625-0.8)^2-0.094011=0
mathbf f^{int}=-4(mathbf u_1-1)^2 4 =3.994
mathbf f^{Ⅱ} =-(lambda mathbf f_0^{ext} -mathbf f^{int})=-(4.1-3.994)=-0.1056
mathbf K_{T} =-8(mathbf u_1-1) = 0.3
Delta mathbf u^{ext} = frac {1}{0.3}=3.333
Delta mathbf u^{Ⅱ} = frac {-0.1056}{0.3}=-0.3521
begin{split}
Delta lambda &= frac {-f 2( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Delta mathbf u^{Ⅱ}}{2[( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Deltamathbf u^{ext} (lambda- lambda_0)]}\
&=frac {-0 2( 0.9628-0.8)*(-0.3521)}{2[(0.9628-0.8)*3.333 (4.1-3.84)]}\
&=-0.07137end{split}
Delta mathbf u_2 = -0.07137*3.333 0.3521 = 0.1142
mathbf u_2 = 0.9625 0.1142 = 1.0767
在每一个随后的子步计算时，一个新的弧长半径会首先被计算出来，该计算是基于上一子步的弧长半径和求解状况而开展的。随后，这个新计算出的弧长半径将进一步被修正，以保证该半径处于上下限之内。当用最小半径也无法收敛时，弧长法将会自动停止。
接下来的迭代：
迭代步 | f | u | λ | -fⅡ |
|---|
3 | 0.00305898 | 1.08148605 | 3.973532132 | 9.204E-05 |
4 | 8.5833E-05 | 1.07368306 | 3.978526775 | 0.00024355 |
5 | 4.8669E-08 | 1.07363526 | 3.978311405 | 9.1393E-09 |
弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法，使用弧长法，可以跟踪复杂的荷载-变形路径。弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法，使用弧长法，可以跟踪复杂的荷载-变形路径。
