非线性| 弧长法算例

2021-02-07 14:34:26 浏览数 (1)

非线性 | 弧长法(Arc-Length Methods)

对于一个非线性有限元模型,只有一个自由度

mathbf u

,外荷载

mathbf f_0^{ext} =1

,内力为

mathbf f^{int}=-4(mathbf u-1)^2 4

切线刚度矩阵

mathbf K_{T} =frac {partial{mathbf f^{int}}}{partial{mathbf u}} =-8(mathbf u-1)

如图所示,假设某一荷载步迭代收敛时荷载因子

lambda_0=3.84

mathbf u_0=0.8

。接下来的荷载步以

Deltalambda_1=0.26

开始。

  • 第一迭代步采用牛顿-拉夫逊方法
lambda_1 = lambda_0 Deltalambda_1 = 3.84 0.26=4.1
lambda mathbf f_0^{ext}-mathbf f^{int}=4.1*1 4(mathbf u_0-1)^2-4 =0.26
mathbf K_{T} =-8(mathbf u_0-1) = 1.6
Delta mathbf u_1 =frac {0.26}{1.6}=0.1625
mathbf u_1 = 0.8 0.1625 = 0.9625
  • 第二迭代步 弧长法
Delta s^2 = Delta lambda_1^2 Delta mathbf u_1^2 =0.09401
f=(4.1-3.84)^2 (0.9625-0.8)^2-0.094011=0
mathbf f^{int}=-4(mathbf u_1-1)^2 4 =3.994
mathbf f^{Ⅱ} =-(lambda mathbf f_0^{ext} -mathbf f^{int})=-(4.1-3.994)=-0.1056
mathbf K_{T} =-8(mathbf u_1-1) = 0.3
Delta mathbf u^{ext} = frac {1}{0.3}=3.333
Delta mathbf u^{Ⅱ} = frac {-0.1056}{0.3}=-0.3521
begin{split} Delta lambda &= frac {-f 2( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Delta mathbf u^{Ⅱ}}{2[( mathbf u - mathbf u_0)^{mathbf T}Deltamathbf u^{ext} (lambda- lambda_0)]}\ &=frac {-0 2( 0.9628-0.8)*(-0.3521)}{2[(0.9628-0.8)*3.333 (4.1-3.84)]}\ &=-0.07137end{split}
Delta mathbf u_2 = -0.07137*3.333 0.3521 = 0.1142
mathbf u_2 = 0.9625 0.1142 = 1.0767

在每一个随后的子步计算时,一个新的弧长半径会首先被计算出来,该计算是基于上一子步的弧长半径和求解状况而开展的。随后,这个新计算出的弧长半径将进一步被修正,以保证该半径处于上下限之内。当用最小半径也无法收敛时,弧长法将会自动停止。

接下来的迭代:

迭代步

f

u

λ

-fⅡ

3

0.00305898

1.08148605

3.973532132

9.204E-05

4

8.5833E-05

1.07368306

3.978526775

0.00024355

5

4.8669E-08

1.07363526

3.978311405

9.1393E-09

弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法,使用弧长法,可以跟踪复杂的荷载-变形路径。弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法,使用弧长法,可以跟踪复杂的荷载-变形路径。

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