文章目录
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- 1. 题目
- 2. 解题
1. 题目
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/5/
2. 解题
本题是在 4. 多重背包问题 I 的基础上，加大了数据规模，直接用上一题的代码是没问题的，但是时间复杂度很高，会超时
- 将 si 拆分成 1,2,4,8, … ,2^k, 剩余的数（这些数，每个数表示一个新的物品，这个新的物品是原来的n个组合成的），这些数可以组合成 1 - si 的任意数
- 然后应用 01 背包解决问题
- 时间复杂度 O ( N V log S ) O(NV log S ) O(NVlogS)，空间复杂度 O ( V ) O(V) O(V)
#include<bits/stdc .h>
using namespace std;
int main()
{
int N, V, vi, wi, si, maxprice = 0;
cin >> N >> V;
vector<int> dp(V 1, -1);
dp[0] = 0;// dp[v] 表示体积为 v 时装的最大价值
for(int i = 0; i < N; i)
{
cin >> vi >> wi >> si;
for(int k = 1; si > k; k*=2)//二进制拆分
{
int price = wi*k;//合并成一个物品，其价值
int v = vi*k;//其体积
si -= k;//剩余物品数量
for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，状态更新
{
if(dp[j] == -1)//状态不存在
continue;
dp[j v] = max(dp[j v], dp[j] price);
maxprice = max(maxprice, dp[j v]);
}
}
if(si > 0)//还剩余的，单独打包成一个物品
{
int price = wi*si;
int v = vi*si;
for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，状态更新
{
if(dp[j] == -1)//状态不存在
continue;
dp[j v] = max(dp[j v], dp[j] price);
maxprice = max(maxprice, dp[j v]);
}
}
}
cout << maxprice << endl;
return 0;
}855 ms C
