中微笔记 | 04_效用

4. 效用

效用是一种描述偏好的方法。

效用函数：是为偏好排序的一种简便方法。为每个可能的消费束指定一个数字，使具有较多偏好的消费束大于具有具有较少偏好的消费束。

效用函数的存在使得我们对消费者行为的偏好分析转换成函数的分析，从而发现消费者行为的规律。（平新乔《微观经济学十八讲》）

4.1 基数效用和序数效用

基数效用认为效用水平的数字有意义，两个消费束之间的效用差额有意义；

序数效用认为效用水平的数字没有意义，两个消费束之间的效用差额没有意义，而重在将不同的商品束进行排序。

4.2 效用函数的单调变换

单调变化（monotonic transformation）是将一组数字转换为另一组数字的方法，并保留转换前后的数字顺序不变。效用函数单调变换后，不改变原来效应函数的排序。常见的单调变化有：

乘以一个正数；
加上任一常数
变为自身的奇数次幂；
对数函数与指数函数互为单调变换函数。

如果

f(u)

是表示某种偏好的效用函数的任一单调变换，那么

f(u(x_1,x_2))

代表的偏好与原效用函数的偏好相同。证明如下：

u(x_1,x_2)

代表特定的偏好意味着：当且仅当

(x_1,x_2) succ (y_1,y_2)

时，

u(x_1,x_2) > u(y_1,y_2)

;

但如果

f(u)

是一个单调变换，那么当且仅当

f(u(x_1,x_2))>f(u(y_1,y_2))

时，

u(x_1,x_2)>u(y_1,y_2)

;

因此，当且仅当

(x_1,x_2) succ (y_1,y_2)

时，

f(u(x_1,x_2))>f(u(y_1,y_2))

，因此，函数

f(u)

同原效用函数

u(x_1,x_2)

以一样方式代表偏好。

4.3 效用函数的构造

已知无差异曲线，构造效用函数：画出一条对顶线，测量对角线与每条无差异曲线交点到原点的距离，将这些距离标记在无差异曲线上。

已知效用函数，画无差异曲线：令

u(x_1,x_2) = k

，画出水平集（level set），对于不同的常数值，将得到不同的无差异曲线。

4.4 特殊偏好的效用函数

完全替代：

u(x_1, x_2) = ax_{1} bx_{2}

。

和

是衡量商品 1 和商品 2 对消费者“价值”的正数；

完全互补：

u(x_1, x_2) = min{ax_1, bx_2}

。

和

是描述商品消费比例的正数。

拟线性偏好：

u(x_1, x_2) = k = v(x_1) x_2

。

是常数，表示无差异曲线的高度。

柯布道格拉斯偏好：

u(x_1, x_2) = x_1^cx_2^d

。

4.4 边际效用

假设某消费者的商品束为

(x_1, x_2)

，若多给他一点商品 1，他的效用变化比率称为商品 1 的边际效用（marginal utility）。用公式表示为：

MU_1 = frac{Delta U}{Delta x_1} = frac{u(x_1 Delta x_1, x_2)}{Delta x_1}

4.5 边际效用和边际替代率

假设两种商品的消费量

(Delta x_1,Delta x_2)

恰好使效用不变，即消费量沿着一条无差异曲线移动。则有：

MU_1 Delta x_1 MU_2 Delta x_2 = Delta U = 0

解出无差异曲线的效率：

MR_{12} = frac{Delta x_2}{Delta x_1} = - frac{MU_1}{MU_2}

4.6 练习题

1.计算柯布-道格拉斯偏好（Cobb-Douglas Preferences）的边际替代率。

柯布-道格拉斯偏好的形式为：

u(x_1,x_2) = x_{1}^{c}x_{2}^{d}

其中，

和

都是表示消费者偏好的正数。

若选择上述指数形式，则有：

MRS = - frac{delta_u(x_1,x_2)/delta x_1}{delta_u(x_1,x_2)/delta x_2} = frac{cx_{1}^{c-1}x_{2}^{d}}{dx_{1}^{c}x_{2}^{d-1}}=- frac{cx_2}{dx_1}

若将柯布-道格拉斯偏好转换为对数形式，则有：

u(x_1,x_2) = cln x_{1} d ln x_2

求得边际替代率为：

MRS = - frac{delta_u(x_1,x_2)/delta x_1}{delta_u(x_1,x_2)/delta x_2} = frac{c/x_1}{d/x_2}=-frac{cx_2}{dx_1}

2.效用函数

u(x_1,x_2)=x_1 sqrt{x_2}

表示什么类型的偏好？效用函数

v(x_1,x_2)=x_{1}^2 2x_1sqrt{x_2} x_2

是的单调变换吗？

u(x_1,x_2)=x_1 sqrt{x_2}

表示拟线性偏好。因为

x_1 geq 0, x_2 geq 0

（消费数量不能为负），所以

u(x_1,x_2)=x_1 sqrt{x_2} geq 0

，对效用函数

u(x_1,x_2)

做单调变换

f(u)=u^2

可得

f(u) = x_{1}^2 2x_1sqrt{x_2} x_2

，而这正是效用函数

v(x_1,x_2)

，因此

v(x_1,x_2)

是

u(x_1,x_2)

的单调变换。

preferences set transformation

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