多项式
定义：n是非负整数，mathbb{F}是一个数域，a_0,a_1,...,a_ninmathbb{F}
称为数域上关于lambda的一元多项式
如果a_nneq 0，则称a_nlambda^n为f(lambda)的首项，n称为多项式的次数，记为partial(f(lambda))，于是partial(f(lambda))=n
如果a_0=a_1=···=a_n=0，称该多项式为零多项式，规定partial(f(lambda))=-∞
如果a_0neq 0, a_1=···=a_n=0，称该多项式为零次多项式，partial(f(lambda))=0，即该多项式为非零常数
多项式的带余除法
定义：f(lambda),g(lambda)inmathbb{F}[lambda]，如果g(lambda)neq 0，则存在q(lambda),r(lambda)in mathbb{F}[lambda]，使得
其中，要么r(lambda)=0，要么r(lambda)neq 0且partial(r(lambda))<partial(g(lambda))
q(lambda)称为g(lambda)除f(lambda)的商，r(lambda)称为余式
如果r(lambda)=0，则称g(lambda)整除f(lambda)，记为g(lambda)|f(lambda)
多项式的公因式，公倍式
- f(lambda),g(lambda),d(lambda)in mathbb{F}[lambda]，如果d(lambda)|f(lambda)且d(lambda)|g(lambda)，则称d(lambda)为f(lambda),g(lambda)的公因式
- f(lambda),g(lambda),d(lambda)in mathbb{F}[lambda]，如果f(lambda)|d(lambda)且g(lambda)|d(lambda)，则称d(lambda)为f(lambda),g(lambda)的公倍式
- 最大公因式GCD：次数最大的公因式
- 最小公倍式LCM：次数最小的公倍式
如果GCD(f(lambda),g(lambda))=1，f(lambda)和g(lambda)称为互质
质因式分解
其中q_i(lambda)为不可约多项式，即q_i(lambda)不能表示成两个次数比q_i(lambda)低的多项式的乘积
类比实数域中的，任何一个合数都可以分解为几个质数的乘积
一个多项式是否可约，关键要看数域mathbb{F}，例如
$lambda$矩阵
以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵，简称为lambda矩阵。记号mathbb{F}^{mtimes n}[lambda]表示所有m行n列的lambda矩阵的集合，矩阵的元素是系数在mathbb{F}中的lambda的多项式。也就是说，A(lambda)in mathbb{F}^{mtimes n}[lambda]表示A(lambda)=[a_{ij}(lambda)]_{mtimes n}，其中，a_{ij}(lambda)in mathbb{F}[lambda]
方阵A的特征矩阵lambda I-A也是lambda矩阵，例如
多项式矩阵和通常矩阵的主要区别在于：其元素所在的运算系统——多项式环mathbb{F}[x]——不是一个域，所以通常矩阵的性质中，涉及到除法的，对于多项式矩阵不再成立
$lambda$矩阵的秩
lambda矩阵的秩，也用rank表示，是指其值为非零多项式的子行列式的最大阶数。换言之，多项式矩阵的秩为r是指：存在r阶子行列式，其值为非零多项式；且所有阶数≥r 1的子行列式的值均为零多项式。零矩阵的秩为0
可逆的$lambda$矩阵
一个n阶lambda矩阵是可逆的，若存在多项式矩阵V(lambda)in mathbb{F}^{ntimes n}[lambda]使得
这里I_n是n阶单位阵，其中称为U(lambda)的逆矩阵，记为U^{-1}(lambda)
定理：一个n阶lambda矩阵U(lambda)可逆的充要条件是det U(lambda)是一个非零常数
注：n阶lambda矩阵U(lambda)的秩为n，不等价于U(lambda)可逆，这是与数字矩阵不相同之处，例如U(lambda)=begin{bmatrix}lambda &1\1&lambdaend{bmatrix}
