Wolfram|Alpha自然语言帮你做计算系列（04）四：函数单调性判定、极值点、拐点、驻点、鞍点、极值与最值的计算

2020-07-03 17:15:17 浏览数 (1)

本文将以具体实例形式，介绍线上判定一元函数的单调性，计算单调性区间的分界点、极值点与拐点，一元函数的极值与最值；判定多元函数的极值点、鞍点以及无条件极值、条件极值与最值的计算

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特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

1、一元函数单调性判定和临界点

例1 求下列函数的单调区间与单调性的分界点

f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} 12x - 3

输入表达式为

代码语言：javascript复制
where is 2x^3-9x^2 12x-3 increasing

执行后的结果显示如下：

结果中不仅给出了单调增加的范围，也给出单调递减的区间，同时给出了单调性改变的临界点，也就是单调区间的分解，定义域以及图形演示.

例2 求下列函数的单调区间

f(x) = (x - 1){x^{{textstyle{2 over 3}}}}

输入表达式为

代码语言：javascript复制
where is (x - 1) (x^(2/3)) increasing

执行计算后发现只能得到大于0范围内的结果，小于0的范围不考虑，包括图形也只是显示非负的范围曲线，如下图.

也就是说当遇到一些根号里面为偶次方的函数时，执行后计算的结果只考虑大于等于0的范围，这个时候要正确完整显示，可能就需要执行一个操作。在上图结果的上方会出现一个提示，要求用the real-valued root代替操作，点击它，则完整显示计算应该得到的结果，如下图.

2、一元函数的驻点、拐点

例1 计算以下函数的驻点

f(x) = {x^3}left( {{{{x^3}} over 6} - {{{x^2}} over 5} - {x over 4} {1 over 3}} right)

输入表达式为

代码语言：javascript复制
stationary points of x^3 (x^3 /6-x^2/5-x/4 1/3)

执行后的结果显示为

结果不仅给出稳定点的位置，而且为极值点时直接告知是极大值还是极小值，是拐点的告知为拐点.

例2 计算以下函数的拐点

f(x) = {({x^2} - 1)^3} 1

输入表达式为

代码语言：javascript复制
points of inflection of (x^2-1)^3 1

执行后的结果显示为

3、一元函数极值点与极值的计算

例 计算以下函数极值点和极值

fleft( x right) = {x^4} - 8{x^2} 2

输入表达式为

代码语言：javascript复制
local extrema x^4-8x^2 2

执行后的结果显示为

【注】 一般对于可导函数计算结果一般没问题，对于极值点为不可导点的位置不一定能够正确得到结果.

4、一元函数的最值计算

例1 求下列函数在指定范围内的最大值、最小值

fleft( x right) = |{x^3} - 9x|

求最大值输入表达式为

代码语言：javascript复制
maximize |x^3-9x|,-3<=x<=5

执行后的结果显示为

求最小值输入表达式为

代码语言：javascript复制
minimize |x^3-9x|,-3<=x<=5

执行后的结果显示为

例2 求下列函数在指定范围内的最大值、最小值

fleft( x right) = {1 over {{x^2} 2x 5}},x in R

求最大值输入表达式为

代码语言：javascript复制
maximize 1/(x^2 2x 5)

执行后的结果显示为

求最大值输入表达式为

代码语言：javascript复制
minimize 1/(x^2 2x 5)

结果显示该函数没有最小值. 输入

代码语言：javascript复制
range of 1/(x^2 2x 5)

计算得到值域为

left{ {y in {bf{R}}:0 < y le {1 over 4}} right}
5、多元函数的鞍点、极值点的判定

例 计算以下函数的驻点，并判定是否为极值点或鞍点：

f(x,y) = {x^3} - {y^3} 3{x^2} 3{y^2} - 9x

输入表达式为

代码语言：javascript复制
stationary points of x^3-y^3 3x^2 3y^2-9x

执行后的结果显示为

从结果可以看到 分别为极大值点和极小值点， 为鞍点

6、多元函数的无条件极值与最值

例1 计算以下函数极值点和极值

f(x,y) = {x^3} - {y^3} 3{x^2} 3{y^2} - 9x

输入表达式为

代码语言：javascript复制
local extrema x^3-y^3 3x^2 3y^2-9x

执行后的结果显示为

例2 求下列函数在指定范围内的最大值：

eqalign{ & A = 24xsin y - 2{x^2}sin y {x^2}cos ysin y cr & (,D:,;0 < x < 12,,;0 < y < {pi over 2},) cr}

参考输入表达式为

代码语言：javascript复制
maximize 24x siny-2x^2 siny x^2 cosy siny, 0<x<12, 0<y<pi/2

执行后的结果显示为

7、多元函数的条件极值与最值

例1 求三个正数，使它们的和为100而乘积最大． 输入表达式为

代码语言：javascript复制
maximize x y z on x y z=100&&x>0&&y>0&&z>0

执行后的结果显示为

例2 求下列函数在指定范围内的最大值、最小值

eqalign{ & z = {x^2} - xy {y^2} cr & D:|x| |y| le 1 cr}

求最大值输入表达式为

代码语言：javascript复制
maximize x^2 y^2-x y on |x| |y|<=1

执行后的结果显示为

求最小值输入表达式为

代码语言：javascript复制
minimize x^2 y^2-x y on |x| |y|<=1

执行后的结果显示为

windows alpha app root

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