【导读】前一段时间，专知内容组推出了春节充电系列：李宏毅2017机器学习课程学习笔记，反响热烈，由此可见，大家对人工智能、机器学习的系列课程非常感兴趣，近期，专知内容组推出吴恩达老师的机器学习课程笔记系列，重温机器学习经典课程，希望大家会喜欢。
【重温经典】吴恩达机器学习课程学习笔记一：监督学习
【重温经典】吴恩达机器学习课程学习笔记二：无监督学习（unsupervised learning）
【重温经典】吴恩达机器学习课程学习笔记三：监督学习模型以及代价函数的介绍
【重温经典】吴恩达机器学习课程学习笔记四：梯度下降
吴恩达机器学习课程系列视频链接：
http://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1004570029
春节充电系列：李宏毅2017机器学习课程学习全部笔记
吴恩达课程学习笔记五：多元梯度下降
1、多种特征
在前面的总结中介绍了根据房子size去预测price的例子，其中特征只有size。下面将这个例子复杂化，即现在有四个特征可能会影响最终的price。
如下图所示，一些参数的解释是：
n为特征的种类数目
为第i个训练样本的特征集合
为第i个训练样本中的第j个特征
此时预测函数表示如下（当然按照上述的例子，这里n取4）：
注意：在这里，为了表示方便，设置
，即对任意i，有
，利用行列式同样可以简化表示。
2、多元梯度下降算法
根据上文所总结可知，预测函数，参数以及代价函数如下：
这里用
（它是一个n 1维向量）来表示参数
则代价函数表示为
，这里参数也要求同时更新。
下图右下部分给出了前三个参数的更新过程（其它参数也是类似）：
3、多元梯度下降法演练之特征缩放
特征缩放的原因：如下图所示，假设有两种特征，一种是房子的size，范围在0-2000，另一种是卧室的数目，范围在1-5。
如果忽略
，则绘出
的等高线图如下（非常的“瘦高”），在进行梯度下降时，会反复来回振荡，下降地非常缓慢。但是按照下图右半部分进行处理后，会相对较快地下降到最低点。
特征缩放的默认规则：尽量使得每个特征的取值范围变为-1—1之间，但并不是一定要特别精确，在-3—到3，以及-1/3—1/3都算比较合理。
即只要特征缩放后的取值范围近似就可以，不需要太精确，特征缩放的目的是为了让梯度下降地更加快一点。
4、多元梯度下降法演练之学习率
如何知道梯度下降算法收敛：
如下图所示，绘制出了J(θ)的值随着迭代次数变化的图像（横轴代表迭代次数），图中所示，在迭代了300—400次后J(θ)的值几乎不变，可以认为已经收敛。
也可以下图右半部分描述的自动检测收敛的方法：即下一次迭代后的J(θ)值与前一次差值在小于
（图中给出的是
）时就认为已经收敛。但在实际情况下，选择合适的
值并不容易。
如何选择学习率使得梯度下降算法正常运行：
如图所示，对于左上部分，可能由于学习率设置的过大，使得J(θ)一直无法收敛。左下图显示的是J(θ)上下振动，这两种情况都可以通过减小学习率α来使得下降算法最终收敛。
两点说明：
对于线性回归来说，已经被证明，小的学习率一定会使得在每次的迭代过程中都使得J(θ)减小。
如果学习率过小，则收敛的速度会很慢。
如上图，为了选择合适的学习率，可以每隔十倍取一个α值，观察J(θ)的收敛情况，从而选取较为合适的α值。
下一次的总结笔记中将与你一同学习特征与多项式回归的相关内容。
参考链接：
http://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1004570029
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