R语言里的非线性模型：多项式回归、局部样条、平滑样条、广义加性模型分析

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总览

在这里，我们放宽了流行的线性技术的线性假设。有时线性假设只是一个很差的近似值。有许多方法可以解决此问题，其中一些方法可以通过使用正则化方法降低模型复杂性来解决。但是，这些技术仍然使用线性模型，到目前为止只能进行改进。本文本专注于线性模型的扩展…

多项式回归 这是对数据提供非线性拟合的简单方法。
阶跃函数 将变量的范围划分为 K个不同的区域，以生成定性变量。这具有拟合分段常数函数的效果。
回归样条 比多项式和阶跃函数更灵活，并且实际上是两者的扩展。
局部样条曲线 类似于回归样条曲线，但是允许区域重叠，并且可以平滑地重叠。
平滑样条曲线 也类似于回归样条曲线，但是它们最小化平滑度惩罚的残差平方和准则。
广义加性模型 允许扩展上述方法以处理多个预测变量。

多项式回归

这是扩展线性模型的最传统方法。随着我们增加多项式的度，多项式回归使我们能够生成非常非线性的曲线，同时仍使用最小二乘法估计系数。

步骤功能

它经常用于生物统计学和流行病学中。

回归样条

回归样条是扩展多项式和逐步回归技术的许多基本函数之一。事实上。多项式和逐步回归函数只是基函数的特定情况。

这是分段三次拟合的示例（左上图）。

为了解决此问题，更好的解决方案是采用约束，使拟合曲线必须连续。

选择结的位置和数量

一种选择是在我们认为变化最快的地方放置更多的结，而在功能更稳定的地方放置更少的结。这可以很好地工作，但是在实践中，通常以统一的方式放置结。

要清楚的是，在这种情况下，实际上有5个结，包括边界结。

那么我们应该使用多少个结？一个简单的选择是尝试许多个结，然后看哪个会产生最好的曲线。但是，更客观的方法是使用交叉验证。

与多项式回归相比，样条曲线可以显示出更稳定的效果。

平滑样条线

在上一节中，我们讨论了回归样条曲线，该样条曲线是通过指定一组结，生成一系列基函数，然后使用最小二乘法估计样条系数而创建的。平滑样条曲线是创建样条曲线的另一种方法。让我们回想一下，我们的目标是找到一些非常适合观察到的数据的功能，即最大限度地减少RSS。但是，如果对我们的函数没有任何限制，我们可以始终通过选择一个精确内插所有数据的函数来使RSS设为零。

选择平滑参数Lambda

同样，我们求助于交叉验证。事实证明，我们实际上可以非常有效地计算LOOCV，以平滑样条曲线，回归样条曲线和其他任意基函数。

平滑样条线通常比回归样条线更可取，因为它们通常会创建更简单的模型并具有可比的拟合度。

局部回归

局部回归涉及仅使用附近的训练观测值来计算目标点x 0 处的拟合度。

可以通过各种方式执行局部回归，尤其是在涉及拟合p 线性回归模型的多变量方案中尤为明显，因此某些变量可以全局拟合，而某些局部拟合。

广义加性模型

GAM模型提供了一个通用框架，可通过允许每个变量的非线性函数扩展线性模型，同时保持可加性。

具有平滑样条的GAM并不是那么简单，因为不能使用最小二乘。取而代之的是使用一种称为反向拟合的方法。

GAM的优缺点

优点

GAM允许将非线性函数拟合到每个预测变量，以便我们可以自动对标准线性回归会遗漏的非线性关系进行建模。我们不需要对每个变量分别尝试许多不同的转换。
非线性拟合可以潜在地对响应Y做出更准确的预测。
因为模型是可加的，所以我们仍然可以检查每个预测变量对Y的影响，同时保持其他变量不变。

缺点

主要局限性在于该模型仅限于累加模型，因此可能会错过重要的相互作用。

范例

多项式回归和阶跃函数

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library(ISLR)attach(Wage)

我们可以轻松地使用来拟合多项式函数，然后指定多项式的变量和次数。该函数返回正交多项式的矩阵，这意味着每列是变量的变量的线性组合 age， age^2， age^3，和 age^4。如果要直接获取变量，可以指定 raw=TRUE，但这不会影响预测结果。它可用于检查所需的系数估计。

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fit = lm(wage~poly(age, 4), data=Wage)kable(coef(summary(fit)))

现在让我们创建一个ages 我们要预测的向量。最后，我们将要绘制数据和拟合的4度多项式。

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ageLims <- range(age)age.grid <- seq(from=ageLims[1], to=ageLims[2])pred <- predict(fit, newdata = list(age = age.grid),                se=TRUE)se.bands <- cbind(pred$fit   2*pred$se.fit,                  pred$fit - 2*pred$se.fit)

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plot(age,wage,xlim=ageLims ,cex=.5,col="darkgrey")title("Degree -4 Polynomial ",outer=T)lines(age.grid,pred$fit,lwd=2,col="blue")matlines(age.grid,se.bands,lwd=2,col="blue",lty=3)

在这个简单的示例中，我们可以使用ANOVA检验。

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## Analysis of Variance Table## ## Model 1: wage ~ age## Model 2: wage ~ poly(age, 2)## Model 3: wage ~ poly(age, 3)## Model 4: wage ~ poly(age, 4)## Model 5: wage ~ poly(age, 5)##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)    ## 1   2998 5022216                               ## 2   2997 4793430  1    228786 143.59 <2e-16 ***## 3   2996 4777674  1     15756   9.89 0.0017 ** ## 4   2995 4771604  1      6070   3.81 0.0510 .  ## 5   2994 4770322  1      1283   0.80 0.3697    ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

我们看到，_M_1 与二次模型相比，p值 _M_2 实质上为零，这表明线性拟合是不够的。因此，我们可以得出结论，二次方或三次方模型可能更适合于此数据，并且偏向于简单模型。

我们也可以使用交叉验证来选择多项式次数。

在这里，我们实际上看到的最小交叉验证误差是针对4度多项式的，但是选择3阶或2阶模型并不会造成太大损失。接下来，我们考虑预测个人是否每年收入超过25万美元。

但是，概率的置信区间是不合理的，因为我们最终得到了一些负概率。为了生成置信区间，更有意义的是转换对数预测。

绘制：

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plot(age,I(wage>250),xlim=ageLims ,type="n",ylim=c(0,.2))points(jitter(age), I((wage>250)/5),       cex=.5,pch="|", col =" darkgrey ")lines(age.grid,pfit,lwd=2, col="blue")matlines(age.grid,se.bands,lwd=1,col="blue",lty=3)

逐步函数

在这里，我们需要拆分数据。

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table(cut(age, 4))

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## ## (17.9,33.5]   (33.5,49]   (49,64.5] (64.5,80.1] ##         750        1399         779          72

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fit <- lm(wage~cut(age, 4), data=Wage)coef(summary(fit))

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##                        Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)## (Intercept)              94.158      1.476  63.790 0.000e 00## cut(age, 4)(33.5,49]     24.053      1.829  13.148 1.982e-38## cut(age, 4)(49,64.5]     23.665      2.068  11.443 1.041e-29## cut(age, 4)(64.5,80.1]    7.641      4.987   1.532 1.256e-01

`splines` 样条函数

在这里，我们将使用三次样条。

由于我们使用的是三个结的三次样条，因此生成的样条具有六个基函数。

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## [1] 3000    6

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dim(bs(age, df=6))

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## [1] 3000    6

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##   25%   50%   75% ## 33.75 42.00 51.00

拟合样条曲线。

我们也可以拟合平滑样条。在这里，我们拟合具有16个自由度的样条曲线，然后通过交叉验证选择样条曲线，从而产生6.8个自由度。

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## Warning: cross-validation with non-unique 'x' values seems doubtful

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fit2$df

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## [1] 6.795

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lines(fit, col='red', lwd=2)lines(fit2, col='blue', lwd=1)legend('topright', legend=c('16 DF', '6.8 DF'),       col=c('red','blue'), lty=1, lwd=2, cex=0.8)

局部回归

执行局部回归。

GAMs

现在，我们使用GAM通过年份，年龄和受教育程度的自然样条来预测工资。由于这只是具有多个基本函数的线性回归模型，因此我们仅使用该 lm() 函数。

为了适合更复杂的样条曲线，我们需要使用平滑样条曲线。

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## Loaded gam 1.09.1

绘制这两个模型

year 是线性的。我们可以创建一个新模型，然后使用ANOVA测试。

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## Analysis of Variance Table## ## Model 1: wage ~ ns(age, 5)   education## Model 2: wage ~ year   s(age, 5)   education## Model 3: wage ~ s(year, 4)   s(age, 5)   education##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq    F  Pr(>F)    ## 1   2990 3712881                              ## 2   2989 3693842  1     19040 15.4 8.9e-05 ***## 3   2986 3689770  3      4071  1.1    0.35    ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

似乎添加线性year 成分要比不添加线性成分的GAM好得多 year。

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## ## Deviance Residuals:##     Min      1Q  Median      3Q     Max ## -119.43  -19.70   -3.33   14.17  213.48 ## ## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 1236)## ##     Null Deviance: 5222086 on 2999 degrees of freedom## Residual Deviance: 3689770 on 2986 degrees of freedom## AIC: 29888 ## ## Number of Local Scoring Iterations: 2 ## ## Anova for Parametric Effects##              Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    ## s(year, 4)    1   27162   27162      22 2.9e-06 ***## s(age, 5)     1  195338  195338     158 < 2e-16 ***## education     4 1069726  267432     216 < 2e-16 ***## Residuals  2986 3689770    1236                    ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## ## Anova for Nonparametric Effects##             Npar Df Npar F  Pr(F)    ## (Intercept)                          ## s(year, 4)        3    1.1   0.35    ## s(age, 5)         4   32.4 <2e-16 ***## education                            ## ---## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

在具有非线性关系的模型中， year 我们可以再次确认对模型没有贡献。

接下来，我们将局部回归拟合为GAM中的构建块。