2020-08-25 11:18:23
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利用泰勒(Taylor)公式将函数
f(t)展开：
f(t)=f(t_0) f^{prime}(t_0)(t-t_0) frac{1}{2!}f^{primeprime}(t_0)(t-t_0)^2 frac{1}{3!}f^{primeprimeprime}(t_0)(t-t_0)^3 frac{1}{4!}f^{(4)}(t_0)(t-t_0)^4 cdots
令
t-t_0=h,t_0=x，则有
f(x h)=f(x) hf^{prime}(x) frac{h^2}{2!}f^{primeprime}(x) frac{h^3}{3!}f^{primeprimeprime}(x) frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x) cdots qquad(1)
同理
f(x-h)=f(x)-hf^{prime}(x) frac{h^2}{2!}f^{primeprime}(x)-frac{h^3}{3!}f^{primeprimeprime}(x) frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)-cdots qquad(2)
f(x 2h)=f(x) 2hf^{prime}(x) frac{(2h)^2}{2!}f^{primeprime}(x) frac{(2h)^3}{3!}f^{primeprimeprime}(x) frac{(2h)^4}{4!}f^{(4)}(x) cdots qquad(3)
f(x-2h)=f(x)-2hf^{prime}(x) frac{(2h)^2}{2!}f^{primeprime}(x)-frac{(2h)^3}{3!}f^{primeprimeprime}(x) frac{(2h)^4}{4!}f^{(4)}(x)-cdots qquad(4)
(1),(2)相加可得
f(x h) f(x-h) =2f(x) h^2f^{primeprime}(x) frac{h^4}{12}f^{(4)}(x) cdots qquad(5)
(1),(2)相减可得
f(x h)- f(x-h) =2hf^{prime}(x) frac{h^3}{3}f^{primeprimeprime}(x) cdots qquad(6)
(3),(4)相加可得
f(x 2h) f(x-2h) =2f(x) 4h^2f^{primeprime}(x) frac{4h^4}{3}f^{(4)}(x) cdots qquad(7)
(3),(4)相减可得
f(x 2h)- f(x-2h) =4hf^{prime}(x) frac{8h^3}{3}f^{primeprimeprime}(x) cdots qquad(8)
注意到
(5),(7)仅包含偶数阶导数，而
(6),(8)仅包含奇数阶导数。
由
(6)可得
f^{prime}(x) = frac{f(x h)-f(x-h)}{2h}-frac{h^2}{6}f^{primeprimeprime}(x) cdots qquad(9)
或者
f^{prime}(x) = frac{f(x h)-f(x-h)}{2h} O(h^2) qquad(10)
(10)就是求
f^{prime}(x)的中心差分法(Central Finite Difference Approximations )，
O(h^2)表示截断误差(h是比较小的数)。由于截断误差是二阶，故又称二阶中心差分法。由
(5)可得
f^{primeprime}(x) = frac{f(x h)-2f(x) f(x-h)}{h^2} frac{h^2}{12}f^{(4)}(x) cdots qquad(11)
或者
f^{primeprime}(x) = frac{f(x h)-2f(x) f(x-h)}{h^2} O(h^2) cdots qquad(12)
(10)就是求
f^{primeprime}(x)的二阶中心差分法。
O(h^2)表示截断误差。
(5),(7)仅包含偶数阶导数，而
(6),(8)仅包含奇数阶导数。利用这个特点，还可以得到求
f^{primeprimeprime}(x),f^{(4)}(x)的二阶中心差分法
f^{primeprimeprime}(x) = frac{f(x 2h)-2f(x h) 2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^3} O(h^2) cdots qquad(13)
f^{(4)}(x) = frac{f(x 2h)-4f(x h) 6f(x)-4f(x-h) f(x-2h)}{h^4} O(h^2) cdots qquad(14)
二阶中心差分法的系数见下表。
