线性空间的定义
线性空间是定义在数域 F 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间
什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理数域mathbb{Q}，复数域mathbb{C}，实数域mathbb{R}
线性空间的定义：
设V是以alpha, beta, gamma,...为元素的非空集合，F是一个数域，定义两种运算：加法forall alpha , beta in V, ; alpha beta in V；数乘forall k in F, alpha in V, k alpha in V。满足8条：加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律，零元存在，1(幺)元存在，负元存在。则称V为数域F上的线性空间。
- 交换律 alpha beta=beta alpha
- 结合律 alpha (beta gamma)=(alpha beta) gamma
- 零元素 在V中有一元素0（称作零元素，注：该0为向量），对于V中任一元素alpha都有alpha 0=alpha
- 负元素 对于V中每一个元素alpha，都有V中的元素beta，使得alpha beta=0，其中，0代表的是零元素，但不一定永远都是0这个数，视具体题目而定
- alpha · 1=alpha，其中1是数，不是向量
- (alpha l)k=alpha (kl)
- alpha (k l)=alpha k alpha l
- (alpha beta)k=alpha k beta k
注：alpha,beta,gammain V 1,k,lin F
简单点说，上述8条，只要有任意一条不满足，则V就不是数域F上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）
例题1
V={0},F是数域，判断V是否为数域F上的线性空间
解：判断是否线性空间，只需要证明集合V在数域F上是否满足上述8条。这里明显满足条件，因此V是数域F上的线性空间
例题2
R^ 表示所有正实数集合，在R^ 中定义加法oplus与数量乘法odot分别为
$$ begin{align} aoplus b&=ab, & forall a,bin R^ \ kodot a&=a^k, & forall ain R^ , kin mathbb{R} end{align} $$
判断R^ 是否构成实数域mathbb{R}上的线性空间
解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此R^ 是实数域mathbb{R}上的线性空间
- 交换律：aoplus b = ab = ba = boplus a
- 结合律：aoplus (boplus c) = a(bc) = (ab)c = (aoplus b) oplus c
- 零元素：这个比较复杂，我详细推导一下。原始定义中alphaoplus 0=alpha，因此0就是零元素。但是对于这道题，我们需要找到一个数x，使得aoplus x=ax=a，显然，x=1。因此，R^ 存在零元素，零元素是1
- 负元素：其实和零元素同理，原始定义中alpha oplus beta=0，因此beta就是alpha的负元素。对于这道题，我们需要找到一个数y，使得alphaoplus y=alpha y=0。但是要注意，这里的0是零元素，而上面我们已经推出零元素是1。所以这里我们需要证明的式子应该是alphaoplus y=alpha y=1，显然，y=frac{1}{alpha}，并且alpha是正实数集合中的元素，因此alphaneq0。因此R^ 存在负元素，负元素是0
- 数乘结合律：kodot(lodot alpha)=kodot(alpha^l)=alpha^{lk}=alpha^{kl}=(kl)odot alpha
- 分配律1：(k l)odot alpha=alpha^{k l}=alpha^kalpha^l=alpha^koplusalpha^l=(kodotalpha)oplus (lodot alpha)
- 分配律2：kodot(alphaoplusbeta)=(alphabeta)^{k}=alpha^kbeta^k=(kodotalpha)oplus(kodotbeta)
例题3
设V是由系数在实数域mathbb{R}上，次数为n的n次多项式f(x)构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明V不是mathbb{R}上的线性空间
解：V是由次数为n的n次多项式f(x)构成的集合，显然加法不封闭。例如xin V，则x (-x)=0，0的次数不再是n，次数下降，不再属于V了。同理，数乘也不封闭。例如xin V，则x·0=0，次数同样下降，不属于V。因此V不是mathbb{R}上的线性空间
线性空间的性质
加法零元唯一
证：设0_1,0_2是两个零元，则0_1=0_1 0_2=0_2
加法负元唯一
证：设alpha的负元为beta_1,beta_2，则beta_1=beta_1 0=beta_1 (alpha beta_2)=(beta_1 alpha) beta_2=beta_2
forall alphain V, 0·alpha=0，其中，第一个0是数，第二个0是向量
forall kin F, k·0=0，其中的两个0是相同的，都是向量
若kalpha=0，则k=0或alpha=0
若alpha beta=alpha gamma，则beta=gamma
补充
以下内容来源哈工大严质彬老师课上讲解
数乘中的数，最好放在向量的右边
$$ left( begin{array}{c} frac{1}{3} \ frac{2}{5} \ frac{1}{2} end{array} right)·2 $$
数字2，可以看作是1×1的矩阵，而列向量是3×1的。将数放向量的右边，就满足了矩阵乘法的要求（第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数）
