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具体数学-第4课 - WeiYang Bloggodweiyang.com
今天讲了多重求和，也就是一个和式由多个下标来指定。
首先是最简单的形式：
例题1
下面给出一个对称矩阵：
求：
这是这个矩阵的上三角加对角线求和，因为是对称的嘛，可以补全下三角，加上对角线就行了。
所以
例题2
下面再看一个例子：
同样模仿上例调换
位置，得到：
所以
至此解完，然后可以推出一个著名的不等式————切比雪夫不等式：
如果
那么
反之如果
那么
更一般的结论，给定两个序列
和
，求下面式子最大值与最小值：
其中
是
的一个排列。 答案是
增序最大，降序最小，至于为什么，下面给出两种证明方法。
方法1
如上图所示，
和
按照递增顺序排列，每个方格的面积代表
与
的乘积，记为
。 那么上面的求和式其实就是每一行每一列都必须有且只有一块被取。 考虑第一行，如果不取
，取其他的
，那么第一列也只能取其他的
，这样的话
也就取不了了。但是发现
并且两种取法影响的行和列都是相同的，这说明了，取
和
不如取
和
。所以
必取，然后第一行第一列就不能取了。剩下的方阵用相同的方法可以得出必取
，也就是主对角线。 同理最小取法用副对角线可以推出。
方法2
设数列
和
非单调递减，那么有如下证明：
反之亦证。
题外话，其实切比雪夫不等式原来是以微积分形式给出的： 如果函数
和
非单调递减，那么有：
例题3
求
我将用三种方法来求解这个式子。
方法1
首先将
和
分开，首先计算对
求和：
方法2
先计算对
求和：
方法3
按对角线求和：
由此得到了一个完全不同的表示形式！ 所以我们得到了：
