今天讲完了取整的最后一部分知识，并给第四章数论开了个头。
首先还是以一道例题开始我们今天的课程。
例题1
求和：
方法1
首先令
那么有
我们先算左半部分，先假设
，那么有
而对于一般的
，令
，我们只需要计算
的部分，而这部分
，所以结果为
。
所以总的结果为：
这里解释一下为什么没有算右半部分？因为右半部分就是
的这部分，已经计算过了。
方法2
因为
，所以可以将原式替换掉，还是令
，然后如下计算：
其中第二行交换了变量计算顺序。
定理1
这里直接介绍一个定理，就不证明了，过程比较复杂：
其中
是一个无理数。
这个公式说明了，无理数
的整数倍的小数部分均匀分布在
之间。
这就给了我们一个启示，我们可以用它来生成随机数啊！其他用处还有很多，自己想咯。
例题2
求如下和式：
其中整数
，
也是整数。
通过枚举
，可以发现和式满足如下形式：
那么怎么计算出来呢？
首先做一个变形：
这就将原来的和式分为了三个部分求和。
第一个部分为：
具体怎么算留到下一章节，这里通过枚举可以发现它的值是有周期的，周期重复次数是
。所以算出来结果为：
第二个部分为：
第三个部分为：
所以总的结果为：
这里我们对结果稍稍变形，可以得到另一个结果：
可以发现，
和
是对称的！所以可以得到如下结论：
这有什么用呢？当
特别大、
很小的时候可以大大减少项的个数！
如果我们令
，就会发现，得到的式子和之前证过的一个式子一模一样！
到这里为止，第三章取整就讲完了，下面开始讲第四章数论部分。
数论相关性质
整除定义
注意这里整除的定义中要求
。
最大公约数和最小公倍数
定义我就不说了，大家应该都知道的。
欧几里得定理
又叫辗转相除法，就是用来求最大公约数的。
扩展欧几里得定理
在用欧几里得定理求到最大公约数之后，反过来可以将最大公约数表示为两个数的线性和：
性质1
如果
，那么
。
性质2
这个就是用了交换律，按照因子顺序倒过来算。
性质3
这个虽然变成了二重求和，但是对于每个
，其实只有一个
有效。
性质4
这个一眼就不一定能看出来了。
左边等于：
右边等于：
可以看出左右两边相等。
算数基本定理
一个整数可以唯一表示为若干个素数乘积：
所以用指数形式来表示一个整数
，例如
，那么
可以表示为：
最大公约数和最小公倍数也能很方便的用指数形式计算： 其中最大公约数的每个素数的指数等于两个数对应指数最小值，最小公倍数的每个素数的指数等于两个数对应指数最大值。
