前言
梯度下降法作为机器学习中较常使用的优化算法，其有着三种不同的形式：批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）以及小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）。其中小批量梯度下降法也常用在深度学习中进行模型的训练。接下来，我们将对这三种不同的梯度下降法进行理解。 为了便于理解，这里我们将使用只含有一个特征的线性回归来展开。
此时线性回归的假设函数为：
对应的目标函数（代价函数）即为：
下图为 J(θ0,θ1)与参数 θ0,θ1 的关系的图：
1、批量梯度下降（Batch Gradient Descent，BGD）
批量梯度下降法是最原始的形式，它是指在每一次迭代时使用所有样本来进行梯度的更新。从数学上理解如下： （1）对目标函数求偏导：
其中 i=1,2,…,m 表示样本数， j=0,1 表示特征数，这里我们使用了偏置项 x(i)0=1。 （2）每次迭代对参数进行更新：
注意这里更新时存在一个求和函数，即为对所有样本进行计算处理，可与下文SGD法进行比较。 伪代码形式为：
优点： （1）一次迭代是对所有样本进行计算，此时利用矩阵进行操作，实现了并行。 （2）由全数据集确定的方向能够更好地代表样本总体，从而更准确地朝向极值所在的方向。当目标函数为凸函数时，BGD一定能够得到全局最优。 缺点： （1）当样本数目 mm 很大时，每迭代一步都需要对所有样本计算，训练过程会很慢。 从迭代的次数上来看，BGD迭代的次数相对较少。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下：
批量梯度下降法的python实现
代码语言：javascript复制import matplotlib.pyplot as plt
import random
##样本数据
x_train = [150,200,250,300,350,400,600]
y_train = [6450,7450,8450,9450,11450,15450,18450]
#样本个数
m = len(x_train)
#步长
alpha = 0.00001
#循环次数
cnt = 0
#假设函数为 y=theta0 theta1*x
def h(x):
return theta0 theta1*x
theta0 = 0
theta1 = 0
#导数
diff0=0
diff1=0
#误差
error0=0
error1=0
#每次迭代theta的值
retn0 = []
retn1 = []
#退出迭代的条件
epsilon=0.00001
#批量梯度下降
while 1:
cnt=cnt 1
diff0=0
diff1=0
#梯度下降
for i in range(m):
diff0 =h(x_train[i])-y_train[i]
diff1 =(h(x_train[i])-y_train[i])*x_train[i]
theta0=theta0-alpha/m*diff0
theta1=theta1-alpha/m*diff1
retn0.append(theta0)
retn1.append(theta1)
error1=0
#计算迭代误差
for i in range(len(x_train)):
error1 = ((theta0 theta1 * x_train[i])-y_train[i]) ** 2 / 2
#判断是否已收敛
if abs(error1 - error0) < epsilon:
break
else:
error0 = error1
# 画图表现
plt.title('BGD')
plt.plot(range(len(retn0)),retn0,label='theta0')
plt.plot(range(len(retn1)),retn1,label='theta1')
plt.legend() #显示上面的label
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('theta')
plt.show()
plt.plot(x_train,y_train,'bo')
plt.plot(x_train,[h(x) for x in x_train],color='k',label='BGD')
plt.legend()
plt.xlabel('area')
plt.ylabel('price')
print("批量梯度下降法：theta0={},theta1={}".format(theta0,theta1))
print("批量梯度下降法循环次数：{}".format(cnt))
plt.show()2、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）
随机梯度下降法不同于批量梯度下降，随机梯度下降是每次迭代使用一个样本来对参数进行更新。使得训练速度加快。
对于一个样本的目标函数为：
（1）对目标函数求偏导：
（2）参数更新：
注意，这里不再有求和符号 伪代码形式为：
优点： （1）由于不是在全部训练数据上的损失函数，而是在每轮迭代中，随机优化某一条训练数据上的损失函数，这样每一轮参数的更新速度大大加快。 缺点： （1）准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下，SGD仍旧无法做到线性收敛。 （2）可能会收敛到局部最优，由于单个样本并不能代表全体样本的趋势。 （3）不易于并行实现。
解释一下为什么SGD收敛速度比BGD要快： 答：这里我们假设有30W个样本，对于BGD而言，每次迭代需要计算30W个样本才能对参数进行一次更新，需要求得最小值可能需要多次迭代（假设这里是10）；而对于SGD，每次更新参数只需要一个样本，因此若使用这30W个样本进行参数更新，则参数会被更新（迭代）30W次，而这期间，SGD就能保证能够收敛到一个合适的最小值上了。也就是说，在收敛时，BGD计算了 10×30W 次，而SGD只计算了 1×30W 次。
从迭代的次数上来看，SGD迭代的次数较少，在解空间的搜索过程看起来很盲目。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下：
随机梯度下降法的python实现
代码语言：javascript复制import matplotlib.pyplot as plt
import random
##样本数据
x_train = [150,200,250,300,350,400,600]
y_train = [6450,7450,8450,9450,11450,15450,18450]
#样本个数
m = len(x_train)
#步长
alpha = 0.00001
#循环次数
cnt = 0
#假设函数为 y=theta0 theta1*x
def h(x):
return theta0 theta1*x
theta0 = 0
theta1 = 0
#导数
diff0=0
diff1=0
#误差
error0=0
error1=0
#每次迭代theta的值
retn0 = []
retn1 = []
#退出迭代的条件
epsilon=0.00001
#随机梯度下降
for i in range(1000):
cnt=cnt 1
diff0=0
diff1=0
j = random.randint(0, m - 1)
diff0=h(x_train[j])-y_train[j]
diff1=(h(x_train[j])-y_train[j])*x_train[j]
theta0=theta0-alpha/m*diff0
theta1=theta1-alpha/m*diff1
retn0.append(theta0)
retn1.append(theta1)
error1=0
#计算迭代的误差
for i in range(len(x_train)):
error1 = ((theta0 theta1 * x_train[i])-y_train[i]) ** 2 / 2
#判断是否已收敛
if abs(error1 - error0) < epsilon:
break
else:
error0 = error1
# 画图表现
plt.title('SGD')
plt.plot(range(len(retn0)),retn0,label='theta0')
plt.plot(range(len(retn1)),retn1,label='theta1')
plt.legend() #显示上面的label
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('theta')
plt.show()
plt.plot(x_train,y_train,'bo')
plt.plot(x_train,[h(x) for x in x_train],color='k',label='SGD')
plt.legend()
plt.xlabel('area')
plt.ylabel('price')
print("随机梯度下降法：theta0={},theta1={}".format(theta0,theta1))
print("随机梯度下降法循环次数：{}".format(cnt))
plt.show()3、小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent, MBGD）
小批量梯度下降，是对批量梯度下降以及随机梯度下降的一个折中办法。其思想是：每次迭代 使用 batch_size 个样本来对参数进行更新。 这里我们假设 batchsize=10，样本数 m=1000 。 伪代码形式为：
优点： （1）通过矩阵运算，每次在一个batch上优化神经网络参数并不会比单个数据慢太多。 （2）每次使用一个batch可以大大减小收敛所需要的迭代次数，同时可以使收敛到的结果更加接近梯度下降的效果。(比如上例中的30W，设置batch_size=100时，需要迭代3000次，远小于SGD的30W次) （3）可实现并行化。 缺点： （1）batch_size的不当选择可能会带来一些问题。
batcha_size的选择带来的影响： （1）在合理地范围内，增大batch_size的好处： a. 内存利用率提高了，大矩阵乘法的并行化效率提高。 b. 跑完一次 epoch（全数据集）所需的迭代次数减少，对于相同数据量的处理速度进一步加快。 c. 在一定范围内，一般来说 Batch_Size 越大，其确定的下降方向越准，引起训练震荡越小。 （2）盲目增大batch_size的坏处： a. 内存利用率提高了，但是内存容量可能撑不住了。 b. 跑完一次 epoch（全数据集）所需的迭代次数减少，要想达到相同的精度，其所花费的时间大大增加了，从而对参数的修正也就显得更加缓慢。 c. Batch_Size 增大到一定程度，其确定的下降方向已经基本不再变化。
下图显示了三种梯度下降算法的收敛过程：
4、总结
Batch gradient descent: Use all examples in each iteration；
Stochastic gradient descent: Use 1 example in each iteration；
Mini-batch gradient descent: Use b examples in each iteration.
