线性方程组

作者：老齐

线性方程组，是任何标准大学数学教材讲解矩阵是都要用到的，并用它引出矩阵概念。之所以如此，可能有两个原因：一是因为我们在初中的时候就已经学习过线性方程组，对它不陌生，正所谓“温故而知新”；二是矩阵的确是为了求解线性方程组而被提出的。所以，此处也不免俗，依然从线性方程组开始，引出矩阵。

begin{cases}-x_1 3x_2-5x_3=-3\2x_1-2x_2 4x_3=8\x_1 3x_2 = 6end{cases}

如果将上述线性方程组的等号左侧各个多项式的系数，按照下面的方式排列：

begin{bmatrix}-1 & 3 & -5 \ 2 & -2 & 4 \ 1 & 3 & 0 end{bmatrix}

这就是矩阵。

线性方程组中第三个方程式缺少

x_3

，可以认为该变量的系数是0。上面的矩阵中的数字来自线性方程组左侧多项式的系数，此矩阵也称为系数矩阵。

如果将线性方程组等号右侧的常数也纳入到矩阵中，其样式如下：

begin{bmatrix}begin{array}{c c c | c}-1 & 3 & -5 & -3 \ 2 & -2 & 4 & 8 \ 1 & 3 & 0 & 6 end{array}end{bmatrix}

这种类型的矩阵称为增广矩阵。

对于增广矩阵，用下面所演示的步骤，完成对线性方程组的求解过程。注：以下演示中，数字①②③分别指增广矩阵的第一行、第二行和第三行。

1. 分别对第一行和第二行执行如下操作：
   • 第一行：

   ①×(-1)

   • 第二行：

   ②×(frac12)

结果如下：

begin{bmatrix}begin{array}{c c c | c}1 & -3 & 5 & 3 \ 1 & -1 & 2 & 4 \ 1 & 3 & 0 & 6 end{array}end{bmatrix}

1. 第二行和第三行分别与第一行做减法，第一行不变，即：
   • 第二行：

   ② ①×(-1)

   • 第三行：

   ③ ①×(-1)

结果如下：

begin{bmatrix}begin{array}{c c c | c}1 & -3 & 5 & 3 \ 0 & 2 & -3 & 1 \ 0 & 6 & -5 & 3 end{array}end{bmatrix}

1. 第一行和第二行不变，第三行做如下变化：
   • 第三行：

   ③ ②×(-3)

结果如下：

begin{bmatrix}begin{array}{c c c | c}1 & -3 & 5 & 3 \ 0 & 2 & -3 & 1 \ 0 & 0 & -14 & 0 end{array}end{bmatrix}

此矩阵对应着一个新的线性方程组，只是此线性方程组与前面我们求解的线性方程组具有相同的解。

begin{cases}x_1-3x_2 5x_3=3\2x_2-3x_3=1\-14x_3 = 0end{cases}

由此线性方程组，比较容易求得：

begin{cases}x_1=frac92\x_2=frac12\x_3 = 0end{cases}

在上面的操作过程中，经过一系列的变换，最终得到了一个非常容易求解的矩阵，该矩阵称之为阶梯形矩阵。

★定义 如果满足如下条件，该矩阵称为阶梯形矩阵：

1. 矩阵中如果有元素都是0的行，那么它位于矩阵的下方。
2. 矩阵中每个非零行的第一个不是0的元素，称为矩阵的主元，主元的列索引随着行索引的递增而严格增大。

”

例如，下面是一个阶梯形矩阵：

begin{bmatrix}1 & -3 & 5 & 3 & 9 \ 0 & 2 & -8 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0end{bmatrix}

• 第一行主元1，位于第一列
• 第二行主元2，位于第二列
• 第三行主元1，位于第四列
• 第四行是元素都为0的零行

前述将增广矩阵变换成比较容易求解的阶梯矩阵的过程，称为矩阵的初等变换，严格地说，上述进行的是初等行变换。

上述经过初等变换所得到的的阶梯矩阵，还可以继续进行如下变换：

1. 第一行不变，将第二行和第四行的主元分别变为1：
   • 第二行：

   ②×frac12

   • 第三行：

   ③×(-frac1{14})

begin{bmatrix}begin{array}{c c c | c}1 & -3 & 5 & 3 \ 0 & 1 & -frac32 & frac12 \ 0 & 0 & 1 & 0 end{array}end{bmatrix}

1. 第三行不变：
   • 第一行：

   ① ②×3

   • 第二行：

   ② ③×frac32

begin{bmatrix}begin{array}{c c c | c}1 & 0 & frac12 & frac92 \ 0 & 1 & 0 & frac12 \ 0 & 0 & 1 & 0 end{array}end{bmatrix}

1. 第二行和第三行不变：
   • 第一行：

   ① ③×(-frac12)

begin{bmatrix}begin{array}{c c c | c}1 & 0 & 0 & frac92 \ 0 & 1 & 0 & frac12 \ 0 & 0 & 1 & 0 end{array}end{bmatrix}

矩阵变换到这里，就可以直接“读”出解了。在这里我们得到了一种特殊的矩阵（去掉常数项）：

begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

这个矩阵称为单位矩阵。

★定义 主对角线元素都是1，其他元素都为0的矩阵，称为单位矩阵。通常用符号

mathbf I

表示。 ”

在上述计算过程中，将最初的矩阵（增广矩阵），经过一系列变换，最终得到了阶梯形矩阵，乃至于还能得到单位矩阵，这个变换的过程称为矩阵的初等行变换。

★对矩阵反复施行以下三种变换：

1. 把某一行的倍数加到另一行上；
2. 两行位置互换；
3. 用一个非零数乘以某一行。

这三种变换称为矩阵的初等行变换。 ”

显然，求解线性方程组，即写出其增广矩阵，然后通过初等行变换化成阶梯形矩阵（包括最终的单位矩阵），从而得到原线性方程组的解。这种方法称为高斯（Gauss）消元法。

★任意一个矩阵都可以通过一系列的初等行变换化成阶梯形矩阵。 ”

正如你所知，线性方程组的系数和常数项为有理数时，线性方程组的解有三种可能：无解、有唯一解、有无穷多个解。

把

n

元线性方程组（即含有

n

个未知量的线性方程组）的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵：

• 若阶梯形矩阵形如：

begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & ... 0 & bend{bmatrix}，b≠0

，则原方程组无解。

• 否则，有解：
  • 若阶梯形矩阵的非零行数（用

  r

  表示）等于未知量的数，即

  r=n

  ，则原方程组有唯一解；

  • 若$r

以上简要说明了利用矩阵求解线性方程组的方法，当然，这种方法是用手工计算完成的。那么，利用计算机程序如何实现？Numpy是机器学习的基础库，它提供了一种途径。

代码语言：javascript复制

import numpy as np

A = np.mat("-1 3 -5; 2 -2 4;1 3 0")    # 系数矩阵
b = np.mat("-3 8, 6").T                # 常数项矩阵

r = np.linalg.solve(A,b)               # 调用 solve 函数求解
print(r)

输出结果为：

代码语言：javascript复制

[[ 4.5]
 [ 0.5]
 [-0. ]]

此结果中的三项依次对应为

x_1, x_2, x_3

的结果。

但是，如果要利用上述方法求解下面的线性方程组：

begin{cases}x_1 3x_2-4x_3 2x_4=0\3x_1-x_2 2x_3-x_4=0\-2x_1 4x_2-x_3 3x_4= 0\3x_1 9x_2-7x_3 6x_4=0end{cases}

会得到如下的解：

代码语言：javascript复制

A = np.mat("1 3 -4 2;3 -1 2 -1;-2 4 -1 3;3 0 -7 6")
b = np.mat("0 0 0 0").T

r = np.linalg.solve(A, b)
print(r)

# 输出结果
[[ 0.]
 [ 0.]
 [-0.]
 [ 0.]]

观察线性方程组，如果各个变量的值都是0，此线性方程组成立。

不妨对线性方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵：

begin{bmatrix}1 & 3 & -4 & 2 \ 3 & -1 & 2 & -1 \ -2 & 4 & -1 & 3 \3 & 9 & -7 & 6 end{bmatrix} to begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -frac{1}{10}\0 & 1 & 0 & frac{7}{10}\ 0 & 0 & 1 & 0 \0 & 0 & 0 & 0end{bmatrix}

观察阶梯形矩阵可知，原线性方程组有解，且$r=3,n=4,r

begin{cases}x_1=frac{1}{10}x_4\x_2=-frac{7}{10}x_4\x_3= 0end{cases}

这个解称为原线性方程组的一般解，其中

x_4

称为自由变量。

那么，如果通过程序，是否可以求得一般解？

代码语言：javascript复制

from sympy import *
from sympy.solvers.solveset import linsolve
x1, x2, x3, x4 = symbols("x1 x2 x3 x4")
linsolve([x1   3*x2 - 4*x3   2*x4, 3*x1 - x2   2*x3 - x4, -2*x1   4*x2 - x3   3*x4, 3*x1  9*x2 - 7*x3   6*x4], (x1, x2, x3, x4))

输出结果：

{(frac{x_4}{10}, -frac{7x_4}{10}, 0, x_4)}

用未知量表示，即为：

begin{cases}x_1 = frac{x_4}{10} \ x_2 = -frac{7x_4}{10} \ x_3 = 0 \ x_4 = x_4end{cases}

此结果与上述运用初等行变换手工计算结果一样。

关于使用SymPy求解线性方程组的详细说明，请参阅文档：https://docs.sympy.org/latest/index.html。

从上述计算中可知，为了求解线性方程组，引入了矩阵——这项工作是19世纪英国数学家凯利发起的，自此之后，不仅形成了以矩阵为研究对象的数学分支，矩阵在电路、力学、量子力学、计算机科学等领域亦有广泛应用。

numpy sympy

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