由于现实中的很多问题是非线性的，当处理这类复杂的数据的回归问题时，特征之间的关系并不是简单的线性关系，此时，不可能利用全局的线性回归模型拟合这类数据。在上一篇文章"分类树算法原理及实现"中，分类树算法可以解决现实中非线性的分类问题，那么本文要讲的就是可以解决现实中非线性回归问题的回归树算法。
本文以决策树中的CART树为例介绍回归树的原理及实现。
叶节点分裂指标
通常在CART回归树中，样本的标签是一系列的连续值的集合，不能再使用基尼指数作为划分树的指标。在回归问题中我们可以发现，对于连续数据， 当数据分布比较分散时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。因此，对于连续的数据，可以使用样本与平均值的差的平方和作为划分回归树的指标。
方差是度量数据分布离散程度最常用的一种指标，对于包含m个训练样本的数据集D{(X(1),y(1)),(X(2),y(2)),…,(X(m),y(m))}，则指标为数据集D中所有样本标签与均值的差的平方和：
在回归树中即用该指标来进行叶节点分裂。现在让我们用代码将其实现。
代码语言：javascript复制import numpy as np
def err_cnt(dataSet):
'''input: dataSet训练数据
output: m*s^2总方差'''
data = np.mat(dataSet)
return np.var(data[:, -1]) * np.shape(data)[0]回归树
先定义样本被划分到左右子树的过程函数，原理为根据特征fea位置处的特征，按照值value将样本划分到左右子树中，当样本在特征fea处的值大于或者等于value时，将其划分到右子树中；否则，将其划分到左子树中。用代码实现如下：
代码语言：javascript复制def split_tree(data, fea, value):
'''input: data训练样本
fea需要划分的特征编号
value指定的划分的值
output: (set_1, set_2)左右子树的聚合'''
set_1 = [] # 右子树的集合
set_2 = [] # 左子树的集合
for x in data:
if x[fea] >= value:
set_1.append(x)
else:
set_2.append(x)
return (set_1, set_2) 另外需要定义计算当前叶子节点的值，计算的方法是使用划分到该叶子节点的所有样本的标签均值，代码如下：
代码语言：javascript复制def leaf(dataSet):
'''input: dataSet训练样本
output: 均值'''
data = np.mat(dataSet)
return np.mean(data[:, -1])在按照特征对上述的数据进行划分的过程中，需要设置划分的终止条件和分类树比较类似。其构建过程可以分为以下几个步骤：
- 对于当前训练数据集，遍历所有特征及其对应的所有可能切分点，寻找最佳切分特征及其最佳切分点，使得切分之后的各子集方差和最小，利用该最佳切分特征及其最佳切分点将训练数据集切分成两个子集，分别对应判别结果为左子树和判别结果为右子树。
- 重复以下的步骤直至满足停止条件：为每一个叶子节点寻找最佳切分特征及其最佳切分点，将其划分为左右子树。
- 生成回归树。
现在先为树中的节点定义一个结构类，代码如下：
代码语言：javascript复制class node:
def __init__(self, fea=-1, value=None, results=None, right=None, left=None):
self.fea = fea # 用于切分数据集的特征的列索引值
self.value = value # 设置划分的值
self.results = results # 存储叶节点的值
self.right = right # 右子树
self.left = left # 左子树然后我们可以利用递归的方法开始构建树了，在构建树的过程中，如果节点中的样本个数小于或者等于指定的最小样本数min_sample，则该节点不再划分。当节点需要划分时，首先计算当前节点的error值，划分后产生左子树和右子树，此时，计算左右子树的error值，若此时的error值小于最优的error值，则更新最优划分，当该节点划分完成后，继续对其左右子树进行划分。
代码语言：javascript复制def build_tree(data, min_sample, min_err):
'''input: data训练样本
min_sample叶子节点中最少样本数
min_err最小的error
output: node:树的根结点'''
# 构建回归树，函数返回该树的根节点
if len(data) <= min_sample:
return node(results=leaf(data))
# 1、初始化
best_err = err_cnt(data)
bestCriteria = None # 存储最佳切分特征以及最佳切分点
bestSets = None # 存储切分后的两个数据集
# 2、开始构建回归树
feature_num = len(data[0]) - 1
for fea in range(0, feature_num):
feature_values = {}
for sample in data:
feature_values[sample[fea]] = 1
for value in feature_values.keys():
# 2.1、尝试划分
(set_1, set_2) = split_tree(data, fea, value)
if len(set_1) < 2 or len(set_2) < 2:
continue
# 2.2、计算划分后的error值
now_err = err_cnt(set_1) err_cnt(set_2)
# 2.3、更新最优划分
if now_err < best_err and len(set_1) > 0 and len(set_2) > 0:
best_err = now_err
bestCriteria = (fea, value)
bestSets = (set_1, set_2)
# 3、判断划分是否结束
if best_err > min_err:
right = build_tree(bestSets[0], min_sample, min_err)
left = build_tree(bestSets[1], min_sample, min_err)
return node(fea=bestCriteria[0], value=bestCriteria[1],
right=right, left=left)
else:
return node(results=leaf(data)) 剪枝
树回归中，当树中的节点对样本一直划分下去时，会出现的最极端的情况是：每一个叶子节点中仅包含一个样本，此时，叶子节点的值即为该样本的标签的值。这种情况易对训练样本"过拟合"，通过这样方式训练出来的样本可以对训练样本拟合得很好，但是对新样本的预测效果将会较差，而这种问题一般大多发生在回归问题中。为了防止构建好的树模型过拟合，通常需要对回归树进行剪枝，剪枝的目的是防止回归树生成过多的叶子节点。在剪枝中主要分为：前剪枝和后剪枝。
前剪枝是指在生成回归树的过程中对树的深度进行控制，防止生成过多的叶子节点。
后剪枝是指将训练样本分成两个部分，一部分用来训练树模型，这部分数据被称为训练数据，另一部分用来对生成的树模型进行剪枝，这部分数据被称为验证数据。如果出现过拟合的现象，则合并一些叶子节点来达到对树模型的剪枝。
到这里整个流程基本就结束了~
