【机器学习基础】一文详尽之支持向量机（SVM）算法！

2020-05-26 12:20:55 浏览数 (1)

作者：小一，Datawhale优秀学习者

寄语：本文介绍了SVM的理论，细致说明了“间隔”和“超平面”两个概念；随后，阐述了如何最大化间隔并区分了软硬间隔SVM；同时，介绍了SVC问题的应用。最后，用SVM乳腺癌诊断经典数据集，对SVM进行了深入的理解。

支持向量机（support vector machines, SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器，间隔最大使它有别于感知机。

SVM的的学习策略就是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划的问题，也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。SVM的的学习算法就是求解凸二次规划的最优化算法。

下图为SVM的分类效果显示，可以发现，不管是线性还是非线性，SVM均表现良好。

学习框架

后台回复 SVM 可下载SVM学习框架高清导图

SVM理论

支持向量机(Support Vector Machine：SVM)的目的是用训练数据集的间隔最大化找到一个最优分离超平面。

下边用一个例子来理解下间隔和分离超平面两个概念。现在有一些人的身高和体重数据，将它们绘制成散点图，是这样的：

如果现在给你一个未知男女的身高和体重，你能分辨出性别吗？直接将已知的点划分为两部分，这个点落在哪一部分就对应相应的性别。那就可以画一条直线，直线以上是男生，直线以下是女生。

问题来了，现在这个是一个二维平面，可以画直线，如果是三维的呢？该怎么画?我们知道一维平面是点，二维平面是线，三维平面是面。

对的，那么注意，今天的第一个概念：超平面是平面的一般化：

  • 在一维的平面中，它是点
  • 在二维的平面中，它是线
  • 在三维的平面中，它是面
  • 在更高的维度中，我们称之为超平面

注意：后面的直线、平面都直接叫超平面了。

继续刚才的问题，我们刚才是通过一个分离超平面分出了男和女，这个超平面唯一吗？很明显，并不唯一，这样的超平面有若干个。

那么问题来了，既然有若干个，那肯定要最好的，这里最好的叫最优分离超平面。如何在众多分离超平面中选择一个最优分离超平面？下面这两个分离超平面，你选哪个？绿色的还是黑色的？

对，当然是黑色的，可是原理是什么？很简单，原理有两个，分别是：

  • 正确的对训练数据进行分类
  • 对未知数据也能很好的分类

黑色的分离超平面能够对训练数据很好的分类，当新增未知数据时，黑色的分离超平面泛化能力也强于绿色。深究一下，为什么黑色的要强于绿色？原理又是什么？

其实很简单：最优分离超平面其实是和两侧样本点有关，而且只和这些点有关。怎么理解这句话呢，我们看张图：

其中当间隔达到最大，两侧样本点的距离相等的超平面为最优分离超平面。注意，今天的第二个概念：对应上图，Margin对应的就是最优分离超平面的间隔，此时的间隔达到最大。

一般来说，间隔中间是无点区域，里面不会有任何点（理想状态下）。给定一个超平面，我们可以就算出这个超平面与和它最接近的数据点之间的距离。那么间隔（Margin）就是二倍的这个距离。

如果还是不理解为什么这个分离超平面就是最优分离超平面，那你在看这张图。

在这张图里面间隔MarginB小于上张图的MarginA。当出现新的未知点，MarginB分离超平面的泛化能力不如MarginA，用MarginB的分离超平面去分类，错误率大于MarginA

总结一下

支持向量机是为了通过间隔最大化找到一个最优分离超平面。在决定分离超平面的时候，只有极限位置的那两个点有用，其他点根本没有大作用，因为只要极限位置离得超平面的距离最大，就是最优的分离超平面了。

如何确定最大化间隔

如果我们能够确定两个平行超平面，那么两个超平面之间的最大距离就是最大化间隔。看个图你就都明白了：

左右两个平行超平面将数据完美的分开，我们只需要计算上述两个平行超平面的距离即可。所以，我们找到最大化间隔：

  • 找到两个平行超平面，可以划分数据集并且两平面之间没有数据点
  • 最大化上述两个超平面

1. 确定两个平行超平面

怎么确定两个平行超平面？我们知道一条直线的数学方程是：y-ax b=0，而超平面会被定义成类似的形式：

mathbf{w}^T mathbf{x} -b = 0

推广到n维空间，则超平面方程中的w、x分别为：

如何确保两超平面之间没有数据点？我们的目的是通过两个平行超平面对数据进行分类，那我们可以这样定义两个超平面。

对于每一个向量xi：满足：

mathbf{w} ·mathbf{x}_i -b ge 1 ;; for ; mathbf{x}_i属于类别1

或者

mathbf{w} ·mathbf{x}_i -b le -1 ;; for ; mathbf{x}_i属于类别-1

也就是这张图：所有的红点都是1类，所有的蓝点都是−1类。

整理一下上面的两个超平面：

mathbf{w} ·mathbf{x}_i -b ge 1 ;; for ; mathbf{x}_i属于类别1
mathbf{w} ·mathbf{x}_i -b le -1 ;; for ; mathbf{x}_i属于类别-1

不等式两边同时乘以 yi，-1类的超平面yi=-1，要改变不等式符号，合并后得

y_i(mathbf{w} ·mathbf{x}_i -b) ge 1 ;; for ; all ; 1le ile n

ok，记住上面的约束条件。

2. 确定间隔
如何求两个平行超平面的间隔呢？我们可以先做这样一个假设：
  • 是满足约束 的超平面
  • 是满足约束的超平面
  • 是上的一点

则到平面的垂直距离就是我们要的间隔。

这个间隔是可以通过计算出来的，推导还需要一些步骤，直接放结果了就：

m = frac{2}{||mathbf{w}||}

其中||w||表示w的二范数，求所有元素的平方和，然后在开方。比如，二维平面下：

||mathbf{w}||=sqrt[2]{w_1^2 w_2^2}

可以发现，w 的模越小，间隔m 越大

3. 确定目标

我们的间隔最大化，最后就成了这样一个问题：
在约束条件y_i(mathbf{w} ·mathbf{x}_i -b) ge 1 ;; (对于i=1,...,n)的情况下
找到使||mathbf{w}||最小的mathbf{w},b

了其中w和b，我们的最优分离超平面就确定了，目的也就达到了。

上面的最优超平面问题是一个凸优化问题，可以转换成了拉格朗日的对偶问题，判断是否满足KKT条件，然后求解。上一句话包含的知识是整个SVM的核心，涉及到大量的公式推导。

此处略过推导的步骤，若想了解推导过程可直接百度。你只需要知道它的目的就是为了找出一个最优分离超平面。就假设我们已经解出了最大间隔，找到了最优分离超平面，它是这样的：

除去上面我们对最大间隔的推导计算，剩下的部分其实是不难理解的。从上面过程，我们可以发现，其实最终分类超平面的确定依赖于部分极限位置的样本点，这叫做支持向量。

由于支持向量在确定分离超平面中起着决定性作用，所有将这类模型叫做支持向量机。

我们在上面图中的点都是线性可分的，也就是一条线（或一个超平面）可以很容易的分开的。但是实际情况不都是这样，比如有的女生身高比男生高，有的男生体重比女生都轻，像这种存在噪声点分类，应该怎么处理？

针对样本的SVM

1. 硬间隔线性SVM

上面例子中提到的样本点都是线性可分的，我们就可以通过分类将样本点完全分类准确，不存在分类错误的情况，这种叫硬间隔，这类模型叫做硬间隔线性SVM。

2. 软间隔线性SVM

同样的，可以通过分类将样本点不完全分类准确，存在少部分分类错误的情况，这叫软间隔，这类模型叫做软间隔线性SVM。

不一样的是，因为有分类错误的样本点，但我们仍需要将错误降至最低，所有需要添加一个惩罚项来进行浮动，所有此时求解的最大间隔就变成了这样：

begin{align*}& ce{min_{omega,b} frac{1}{2} ||omega||^2} Csum_{i=1}^Nepsilon_i \& ce{s.t. ,, y_i(omega·x_i b)ge 1-epsilon_i, , epsilon_i ge 0,, i=1,2,...，N}end{align*}

硬间隔和软间隔都是对线性可分的样本点进行分类，那如果样本点本身就不线性可分？举个例子：下面这幅图

样本点并不是线性可分的，这种问题应该怎么处理呢？解决这个问题之前，先看一下这个小短视频：

视频中是将平面中的样本点映射到三维空间中，使用一个平面将样本线性可分。

所以我们需要一种方法，可以将样本从原始空间映射到一个更高纬的空间中，使得样本在新的空间中线性可分，即：核函数。在非线性SVM中，核函数的选择关系到SVM的分类效果。

幸好的是，我们有多种核函数：线性核函数、多项式核函数、高斯核函数、sigmoid核函数等等，甚至你还可以将这些核函数进行组合，以达到最优线性可分的效果

核函数了解到应该就差不多了，具体的实现我们在下一节的实战再说。

多分类SVM

前面提到的所有例子最终都指向了二分类，现实中可不止有二分类，更多的是多分类问题。那么多分类应该怎么分呢？有两种方法：一对多和一对一。
1. 一对多法

一对多法讲究的是将所有的分类分成两类：一类只包含一个分类，另一类包含剩下的所有分类

举个例子：现在有A、B、C、D四种分类，根据一对多法可以这样分：

  • ①：样本A作为正集，B、C、D为负集
  • ②：样本B作为正集，A、C、D为负集
  • ③：样本C作为正集，A、B、D为负集
  • ④：样本D作为正集，A、B、C为负集

该方法分类速度较快，但训练速度较慢，添加新的分类，需要重新构造分类器。

2. 一对一法

一对一法讲究的是从所有分类中只取出两类，一个为正类一个为父类

再举个例子：现在有A、B、C三种分类，根据一对一法可以这样分：

  • ①分类器：样本A、B
  • ②分类器：样本A、C
  • ③分类器：样本B、C

该方法的优点是：当新增一类时，只需要训练与该类相关的分类器即可，训练速度较快。缺点是：当类的种类K很多时，分类器个数K(K-1)/2会很多，训练和测试时间较慢。

SVC，Support Vector Classification

我们知道针对样本有线性SVM和非线性SVM。同样的在sklearn中提供的这两种的实现，分别是：LinearSVC和SVC。

SVC : Support Vector Classification 用支持向量机处理分类问题

SVR : Support Vector Regression 用支持向量机处理回归问题

1. SVC和LinearSVC

LinearSVC是线性分类器，用于处理线性分类的数据，且只能使用线性核函数。SVC是非线性分类器，即可以使用线性核函数进行线性划分，也可以使用高维核函数进行非线性划分。

2. SVM的使用

在sklearn 中，一句话调用SVM，

代码语言：javascript复制
from sklearn import svm

主要说一下SVC的创建，因为它的参数比较重要

代码语言：javascript复制
model = svm.SVC(kernel='rbf', C=1.0, gamma=0.001)
代码语言：javascript复制
分别解释一下三个重要参数：
  • kernel代表核函数的选择，有四种选择，默认rbf（即高斯核函数）
  • 参数C代表目标函数的惩罚系数，默认情况下为 1.0
  • 参数gamma代表核函数的系数，默认为样本特征数的倒数

其中kernel代表的四种核函数分别是：

  • linear：线性核函数，在数据线性可分的情况下使用的
  • poly：多项式核函数，可以将数据从低维空间映射到高维空间
  • rbf：高斯核函数，同样可以将样本映射到高维空间，但所需的参数较少，通常性能不错
  • sigmoid：sigmoid核函数，常用在神经网络的映射中

SVM的使用就介绍这么多，来实战测试一下。

经典数据集实战

1. 数据集

SVM的经典数据集：乳腺癌诊断。医疗人员采集了患者乳腺肿块经过细针穿刺 (FNA) 后的数字化图像，并且对这些数字图像进行了特征提取，这些特征可以描述图像中的细胞核呈现。通过这些特征可以将肿瘤分成良性和恶性。

本次数据一共569条、32个字段，先来看一下具体数据字段吧：

其中mean结尾的代表平均值、se结尾的代表标准差、worst结尾代表最坏值（这里具体指肿瘤的特征最大值）。所有其实主要有10个特征字段，一个id字段，一个预测类别字段。我们的目的是通过给出的特征字段来预测肿瘤是良性还是恶性。

2. 数据EDA
EDA:Exploratory Data Analysis探索性数据分析，先来看数据的分布情况：
代码语言：javascript复制
df_data.info()

一共569条、32个字段。32个字段中1个object类型，一个int型id，剩下的都是float 类型。另外：数据中不存在缺失值。

大胆猜测一下，object类型可能是类别型数据，即最终的预测类型，需要进行处理，先记下。再来看连续型数据的统计数据：

代码语言：javascript复制
df_data.describe()

好像也没啥问题（其实因为这个数据本身比较规整），可直接开始特征工程吧。

3. 特征工程

首先就是将类别数据连续化

代码语言：javascript复制
"""2. 类别特征向量化"""
le = preprocessing.LabelEncoder()
le.fit(df_data['diagnosis'])
df_data['diagnosis'] = le.transform(df_data['diagnosis'])

再来观察每一个特征的三个指标：均值、标准差和最大值。优先选择均值，最能体现该指特征的整体情况。

代码语言：javascript复制
 """3. 提取特征"""
 # 提取所有mean 字段和label字段
df_data_X = df_data.filter(regex='_mean')
df_data_y = df_data['diagnosis']

现在还有十个特征，我们通过热力图来看一下特征之间的关系。

代码语言：javascript复制
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#热力图查看特征之间的关系
sns.heatmap(df_data[df_data_X.columns].corr(), linewidths=0.1, vmax=1.0, square=True,
            cmap=sns.color_palette('RdBu', n_colors=256),
            linecolor='white', annot=True)
plt.title('the feature of corr')
plt.show()

热力图是这样的：

我们发现radius_mean、perimeter_mean和area_mean这三个特征强相关，那我们只保留一个就行了。这里保留热力图里面得分最高的perimeter_mean。

最后一步，因为是连续数值，最好对其进行标准化。标准化之后的数据是这样的：

代码语言：javascript复制
 df_data_X = df_data_X.drop(['radius_mean', 'area_mean'], axis=1)
"""5. 进行特征归一化/缩放"""
scaler = preprocessing.StandardScaler()
df_data_X = scaler.fit_transform(df_data_X)
return df_data_X, df_data_y
4. 训练模型

上面已经做好了特征工程，直接塞进模型看看效果怎么样。因为并不知道数据样本到底是否线性可分，所有我们都来试一下两种算法。先来看看LinearSVC 的效果

代码语言：javascript复制
"""1.1. 第一种模型验证方法"""
    # 切分数据集
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data_X, data_y, test_size=0.2)
    # 创建SVM分类器
    model = svm.LinearSVC()
    # 用训练集做训练
    model.fit(X_train, y_train)
    # 用测试集做预测
    pred_label = model.predict(X_test)
    print('准确率: ', metrics.accuracy_score(pred_label, y_test))

效果很好，简直好的不行，在此，并没有考虑准确率。

ok，还有SVC的效果。因为SVC需要设置参数，直接通过网格搜索让机器自己找到最优参数，效果更好。

代码语言：javascript复制
"""2. 通过网格搜索寻找最优参数"""
    parameters = {
        'gamma': np.linspace(0.0001, 0.1),
        'kernel': ['linear', 'poly', 'rbf', 'sigmoid'],
    }
    model = svm.SVC()
    grid_model = GridSearchCV(model, parameters, cv=10, return_train_score=True)
    grid_model.fit(X_train, y_train)
    # 用测试集做预测
    pred_label = grid_model.predict(X_test)
    print('准确率: ', metrics.accuracy_score(pred_label, y_test))
    # 输出模型的最优参数
    print(grid_model.best_params_)

可以看出，最终模型还是选择rbf高斯核函数，果然实至名归。主要是通过数据EDA 特征工程完成了数据方面的工作，然后通过交叉验证 网格搜索确定了最优模型和最优参数。

特征工程 机器学习 神经网络 深度学习

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