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Logistic Regression曾经在互联网业务中被广泛用来进行互联网搜索、推荐和广告的点击预估，可以说是使用频次最多的机器学习模型，也是深度神经网络的基础。在一些机器学习新人面试中，面试官经常会考察Logistic Regression的基本公式、损失函数的推导等问题。
从回归到分类
回归问题是指目标值为整个实数域，分类问题是指目标值为有限的离散值。
前面几篇文章系统讨论了线性回归模型：
f(boldsymbol{x_i}) = sum^n_{j=0} w_j x_{i,j} = boldsymbol{w}^top boldsymbol{x_i}
这是一个回归模型，模型可以预测
(-infty, infty)范围的目标值。在模型求解时，我们可以使用误差平方定义损失函数，最小化损失函数即可求得模型参数。
现在，我们想进行二元分类，目标值有0和1两个选项，一个二分类函数可以表示为：
y =
begin{cases}
0 &text{if } z < 0 \
1 &text{if } z geq 0
end{cases}
当
z<0时，将分类目标判定为负例，当
zgeq0时将分类目标判定为正例。这个分类函数其实是一个阶跃函数，在
z=0不连续，或者说在
z=0处发生了跳跃，这样的函数不方便求导。我们需要使用其他单调可微的函数来替代这个二元分类函数。
现在，我们可以在这个线性回归的基础上，在其外层套上一个函数
g(z)。一个最常见的函数为：
g(z)= frac 1 {1 e^{-z}}
这个函数的形状如下所示，它被称为对数几率函数、Logistic函数或者Sigmoid函数，后文将称之为Logistic函数。
Logistic Function
从图形可以看出，Logistic函数有一些性质：
(-infty, infty)，值域为
(0, 1)。
z趋近于
-infty时，
g(z)趋近于
0；当
z趋近于
infty时，
g(z)趋近于
1；当
z取
0时，
g(z)等于
0.5。
严格来说，Sigmoid函数是一个庞大的函数家族，用来表示S形函数。我们现在讨论的Logistic函数是Sigmoid函数中的一种，也是最具代表性的一个。Sigmoid函数将在神经网络中起重要作用。
Logistic函数的这些性质决定了它可以将
(-infty, infty)映射到
(0, 1)上，加上它在中心点处取值为
0.5，可以用来进行分类。因为Logistic函数有明确的分界线，
z小于0的部分将被分为负例（0），
z大于0的部分将被分为正例（1）。
我们将线性回归套入Logistic函数，可以得到：
y = f(x) = g(w^top x) = frac 1{1 e^{-w^{top}x}}
我们在线性回归的基础上增加了一个Logistic函数，于是可以进行二元分类预测。一个训练集中有
m条数据，第
i条数据按照下面的公式进行拟合：
y_i = f(boldsymbol{x_i}) = g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x_i}) = frac 1{1 e^{-boldsymbol{w}^{top}boldsymbol{x_i}}}
这就是Logistic回归、逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）。模型训练好后，一般设置一个阈值，小于阈值的被判定为负例，大于阈值的被判定为正例。
注意，Logistic Regression中虽然名称中带有Regression回归字样，实际上，这是一个著名的分类模型。
Logistic函数二元概率解释
Logistic函数适合表示二分类概率。假设我们将
y表示为分类时作为正例的可能性，那么
1-y就是分成负例的可能性。恰好Logistic Regression有如下性质：
ln frac{y}{1-y}=w^top x
其中，
frac{y}{1-y}被称为几率（Odds），表示当前数据被分类到正例的相对可能性。
ln frac{y}{1-y}是几率的对数，被称为对数几率（Log Odds，或者Logit）。
我们回顾一下概率知识：我们知道概率都是
[0, 1]区间上的值，假设一件事物成功的概率为
P(Success)=0.8，失败的概率为
P(Fail) = 1-P(Success)=0.2。那么，这件事成功的几率Odds为：
frac{P(Success)}{1-P(Success)}=frac{0.8}{0.2}=4。也就是说，它成功的可能性非常大。
回到Logistic Regression上，线性回归
w^top x试图去逼近几率的对数
ln frac{y}{1-y}。实际上，Logitstic Regression对分类的可能性进行建模，可以得到近似概率的预测。很多基于概率辅助决策的任务都会使用此模型。比如，包括Google在内的很多公司曾经使用Logistic Regression预测一条互联网广告是否会被点击，预测值越高，越会投放在醒目的位置，吸引用户点击。
Logistic函数将
(-infty, infty)映射到了
(0, 1)上，无论多大或者多小的值，都可以和一个
(0, 1)区间的概率联系起来，这样就得到了一个概率分布。
Logistic Regression的最大似然估计
Logistic函数可以和概率联系起来，于是我们可以将
y视为分类到正例的概率估计：
P(y=1|boldsymbol{x})，分类到负例的概率为：
P(y=0|boldsymbol{x})。
P(y=1|boldsymbol{x}) = f(boldsymbol{x})
P(y=0|boldsymbol{x})=1-f(boldsymbol{x})
可以将上面这两个概率写成一个更为紧凑的公式：
P(Y=y | boldsymbol{x};boldsymbol{w}) =(f (boldsymbol{x}))^y(1- f (boldsymbol{x}))^{1-y}
由于
y只有两种可能，即0（负例）和1（正例）：那么如果
y=1，
(1- f (boldsymbol{x}))^0=1，
P(Y=y | boldsymbol{x})=(f(boldsymbol{x}))^1，如果
y=0，
(f (boldsymbol{x}))^0=1，
P(Y=y | boldsymbol{x})=(1-f(boldsymbol{x}))^1。上式中，分号和
boldsymbol{w}表示，
boldsymbol{w}是参数，并不是随机变量。
有了概率表示，我们很容易进行概率上的最大似然估计。因为似然函数与概率函数的形式几乎相似，概率函数就是所有样本发生的概率的乘积，而似然函数是关于参数
boldsymbol{w}的函数。
begin{aligned}
L(boldsymbol{w}) &= P(boldsymbol{y}| boldsymbol{X}; boldsymbol{w})\
&= prod^m_{i=1} P(y_{i}| boldsymbol{x_{i}}; boldsymbol{w})\
&= prod^m_{i=1} (f (boldsymbol{x_{i}}))^{y_{i}}(1- f (boldsymbol{x_{i}}))^{1-y_{i}} \
end{aligned}
和线性回归一样，我们对上面的公式取
log，这样更容易实现似然函数的最大化：
begin{aligned}
ell(boldsymbol{w}) &=log L(boldsymbol{w}) \
&= sum^m_{i=1} y_{i} log f(boldsymbol{x_{i}}) (1-y_{i})log (1-f(boldsymbol{x_{i}}))
end{aligned}
如何求得上面公式的解？和线性回归一样，我们可以利用梯度上升法。当前目标是最大化似然函数，因此我们要使用梯度上升，不断迭代寻找最大值。具体而言，参数按照下面的方式来更新：
boldsymbol{w} := boldsymbol{w} alpha nabla _boldsymbol{w} ell(boldsymbol{w})
参数估计中最关键的是得到导数公式。求导之前，我们再回顾一下Logistic Regression：
f(boldsymbol{x}) = g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x})
g(z)= frac 1 {1 e^{-z}}
而Logistic函数
g(z)在求导时有：
g'(z) = g(z)(1-g(z))，因为：
begin{aligned}
g'(z) & = frac d{dz}frac 1{1 e^{-z}}\
& = frac 1{(1 e^{-z})^2}(e^{-z})\
& = frac 1{(1 e^{-z})} cdot (1- frac 1{(1 e^{-z})})\
& = g(z)(1-g(z))\
end{aligned}
然后，我们开始求参数的导数。我们仍然先假设训练集中只有一条数据
(boldsymbol{x}, y)。下面推导的第三行就用到了Logistic函数导数性质
g'(z) = g(z)(1-g(z))。
begin{aligned}
frac {partial}{partial w_j} ell(boldsymbol{w}) &= (yfrac 1 {f(boldsymbol{x})} - (1-y)frac 1 {1 - f(boldsymbol{x})})frac {partial}{partial w_j}f(boldsymbol{x}) \
&= (yfrac 1 {g(boldsymbol{w} ^top boldsymbol{x})} - (1-y)frac 1 {1- g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x})} )frac {partial}{partial w_j}g(boldsymbol{w} ^top boldsymbol{x}) \
&= (yfrac 1 {g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x})} - (1-y)frac 1 {1- g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x})}) g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x})(1-g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x})) frac {partial}{partial w_j}boldsymbol{w}^top boldsymbol{x} \
&= (y(1-g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x}) ) -(1-y) g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x})) x_j\
&= (y-g(boldsymbol{w}^top boldsymbol{x}))x_j \
&= (y-f(boldsymbol{x}))x_j
end{aligned}
那么，具体到参数迭代更新的公式上，以训练集的第
i条样本数据拿来进行计算：
w_j := w_j alpha (y_{i}-f(boldsymbol{x_{i}}))x_{i,j}
跟我们之前推导的线性回归函数的公式可以说是一模一样。于是，在这个问题上，我们可以使用梯度上升法来获得最优解。或者做个简单的变换，变成梯度下降法：
w_j := w_j - alpha (f(boldsymbol{x_{i}})-y_{i})x_{i,j}
前面公式只是假设训练集中只有一条样本数据，而当训练集有
m条数据，对
ell(boldsymbol{w}) = sum^m_{i=1} y_{i} log f(boldsymbol{x_{i}}) (1-y_{i})log (1-f(boldsymbol{x_{i}}))进行求导，实际上是可以得到：
frac {partial}{partial w_j} ell(boldsymbol{w}) = sum_{i=1}^m(y_i - f(boldsymbol{x_i}))boldsymbol{x_{i,j}}
直接拿全量数据来更新参数不太现实，绝大多数情况下都会使用随机梯度下降法求解，可以随机挑选某个样本来更新参数，也可以随机挑选一小批Mini-batch样本来更新参数。
参考资料
- Andrew Ng：CS229 Lecture Notes
- 周志华: 机器学习
