论文提出了Circle loss，不仅能够对类内优化和类间优化进行单独地处理，还能根据不同的相似度值调整对应的梯度。总体而言，Circle loss更灵活，而且优化目标更明确，在多个实验上都有较好的表现，个人认为是一个很好的工作undefined
来源：晓飞的算法工程笔记 公众号
论文: Circle Loss: A Unified Perspective of Pair Similarity Optimization
- 论文地址：https://arxiv.org/abs/2002.10857
Introduction
论文认为两类基础的深度特征学习方法classification learning(比如softmax)和pair-wise learning(比如triplet loss)均是为了最小化类内相似度$s_n$和类间相似度$s_p$，理想是$(s_n=0, s_p = 1)$。而大部分常用的损失函数都是将$s_n$和$s_p$embed成相似度对，然后用各自研究的策略最小化$(s_n-s_p)$的值。这种策略提升$s_p$等同于下降$s_n$，但其实这种对称的优化方法很容易存在以下问题：
- 缺乏优化的灵活性。由于基于损失函数同时优化$s_n$和$s_p$，导致$s_n$和$s_p$的梯度的幅值是一样的。当$s_n$和$s_p$均很小时，依然会使用较大的梯度惩罚$s_n$，这是不高效且不合理的。
- 收敛目标不明确。优化$s_n-s_p$通常会遇到决策边界问题$s_p-s_n=m$。而这个边界目前是不够明确的，首先图1a中的ABC点均到决策边界的距离相等，但其收敛点却不太一样(梯度正交于$s_p=s_n$?)。其次，不同收敛点间的类内和类间相似度差异可能较小，比如样本${s_n, s_p}={0.2, 0.5}$和${{s^{'}}_n, {s^{'}}_p}={0.4, 0.7}$，虽然边际(margin)均为0.3，但${s^{'}}_n$和$s_p$的差距仅为0.1，这样的收敛状态会影响整体样本的区分性。
基于上面的发现，论文认为不同的相似分数应该有不同的惩罚力度，首先将$(s_n - s_p)$转换为$(alpha_n s_n - alpha_p s_p)$，$alpha_n$和$alpha_p$是独立的权重因子，分别与$s_n$和$s_p$线性相关，这样不仅使得$s_n$和$s_p$能以不同的步伐进行学习，还可以更具相似分数调整幅值。这样的优化策略使得$alpha_n s_n - alpha_p s_p=m$在$(s_n, s_p)$空间内呈现圆形，故称为Circle loss。
Circle loss主要从以下3个方面入手改变深度特征学习的内在特性：
- 统一损失函数来表示两类基础的深度特征学习方法classification learning(比如softmax)和pair-wise learning(比如triplet loss)。
- 灵活地优化，由于$alpha_n$和$alpha_p$会随着对应的相似度分数来改变对应的梯度，如图1b的点ABC的梯度是各不一样的。
- 明确的收敛目标，在圆形的决策边界，circle loss有更倾向的决策状态，如图2b的ABC点，均偏向于更新到点T，原因后面会讲到。
论文的主要贡献如下：
- 提出Circle loss，通过有监督地加权不同相似度分数来进行深度特征学习，能够更灵活地优化，并且有明确的收敛目标。
- Circle loss能够兼容class-level标签和pair-wise标签，通过简单的修改就能变化为triplet loss或softmax loss。
- 在不同的任务(人脸识别，ReID，细粒度图片检索等)上进行实验证明Cirle loss的优势。
A Unified Perspective
给予特征空间的单样本$x$，假设有$K$个类内相似分数和$L$个类间相似分数关联$x$，定义相似度分数为${s^i_p}(i=1,2,cdots,K)$和${s^i_n}(i=1,2,cdots,L)$。
为了最小化每个$s^j_n$以及最大化每个$s^i_p$，统一的损失函数如公式1，其中$gamma$为缩放因子，$m$为边际(margin)。公式1迭代每个相似度对来减小$(s^j_n-s^i_p)$，通过简单的修改就能变为triplet loss和classification loss。
Given class-level labels
在分类层计算样本$x$与各类的相似度以及权重向量$w_i (i=1,2,cdots,N)$，得到$(N-1)$个类间相似度$s^j_n=w^T_j x/(||w_j|| ||x||)$以及单个类内相似度$s_p = w^T_y x/(||w_y|| ||x||)$。
结合公式1，得到公式2的softmax变种AM-Softmax，当$m=0$时，公式2能够进一步变化为Normface，当将cosine相似度替换为内积以及设置$gamma=1$时，则为softmax loss。
Given pair-wise labels
计算mini-batch中样本$x$与其它样本的相似性，得到类间相似度$s^j_n=w^T_j x/(||x_j|| ||x||)$以及单个类内相似度$s^i_p = w^T_y x/(||x_i|| ||x||)$。
结合公式1，$K=|mathcal{P}|$，$L=|mathcal{N}|$，得到带hard mining的triplet loss，$sum exp(cdot)$用于调节mining的程度，当$gamma to infty$时，就是绝对的hard mining。
Gradient analysis
公式2和公式3展示了公式1的通用性，目标均是优化$(s_n-s_p)$。论文假设仅存在单个$s_p$和$s_n$，各种损失函数的梯度进行了可视化，如图2所示，观察到了主流损失函数的几点梯度表现：
- 在达到决策边界前，$s_p$和$s_n$的梯度是相同的，这缺乏优化的灵活性。
- 梯度在收敛前几乎是不变，而在收敛时则突然下降。比如图2的B点相对于A点是更优的，但是两点的梯度几乎一样，这也表明了优化的不灵活。
- 决策边界平行于$s_n - s_p=m$(图2的白线)，不同的点$A$ $B$会可能以边界上的不同点$T$或$T^{'}$为目标，导致收敛目标不明确，如之前所述的。
A New Loss Function
Self-paced Weighting
为了让每个相似度分数能够根据当前优化状态调整学习的幅度，先忽略公式1的$m$并调整为Circle loss，如公式4所示，$alpha^j_n$和$alpha^i_p$为非负权重因子。
假定$s^ip$的最优值为$O_p$，$s^j_n$的最优值为$O_n(O_n < O_p)$，则$alpha^j_n$和$alpha^i_p$的计算如公式5，称为self-paced manner，$cdot $为cut-off at zero操作来保证$alpha^j_n$和$alpha^i_p$非负。
加权是分类loss中的常见操作，所有的相似度分数共享同一个缩放因子$gamma$，而Circle loss则根据每个相似度分类的值再进行一次独立的加权，允许不同的学习幅度，能够更加地灵活。
Within-class and Between-class Margin
在之前的讨论中，主流损失函数的$(s_n-s_p)$的优化是对称的(减少$s_n$等同于增大$s_p$)，仅需一个边际(margin)即可。而在Circle loss中，$(s_n-s_p)$的优化是非对称的，因此需要设置独立的边际，如公式6，其中$Delta_n$和$Delta_p$为类间边际和类内边际，目标是$s^i_p>Delta_p$以及$s^j_n<Delta_n$，下面探讨边际的设置问题。
考虑简单的二分类问题，决策边界为$alpha_n(s_n - Delta_n)-alpha_p(s_p-Delta_p)=0$，结合公式5和6，决策边界可转换为公式7，其中$C=((O_n-Delta_n)^2 (O_p-Delta_p)^2)/4$，即为Circle loss决策边界为圆的弧，如图1b所示，中心点为$(s_n=(O_n Delta_n)/2, s_p=(O_p Delta_p)/2)$，半径为$sqrt{C}$。
Circle loss包含5个参数$(O_p, O_n, gamma, Delta_p, Delta_n)$，论文通过设置$O_p=1 m$，$O_n=-m$，$Delta_p=1-m$，$Delta_n=m$来减少参数，最终将公式7转换为公式8。基于公式8的决策边界，可以看到其目标为$s_n to 0$和$s_p to 1$，参数$m$控制决策边界的半径可以看作是松弛因子，即可将Circle loss目标改为$s^i_p>1-m$和$s^i_n<m$。
The Advantages of Circle Loss
Circle loss关于$s^j_n$和$s^i_p$的梯度分别为公式9和公式10，在简单的二分类问题上，梯度的可视化如图2c所示，可以观察到几点梯度表现：
- Circle loss能够平衡地优化$s_n$和$s_p$，动态地调整惩罚各自的力度。
- 逐渐衰弱的梯度，如图2c所示，在训练初期，远离决策边际将获得较大的梯度，随着逐渐接近收敛，其梯度逐渐衰减，并且对$gamma$具有鲁棒性。
- 更明确的收敛目标，如图1b所示，Circle loss更倾向于收敛至点$T$，因为相对于其他点，点$T$的$s_p$和$s_n$差距最小，加上梯度足够灵活，最容易学习到该状态。因为$s_p$和$s_n$差距越大，需要将数据划分地更开，更难学习。
Experiment
Face Recognition
Person Re-identification
Fine-grained Image Retrieval
Impact of the Hyper-parameters
Investigation of the Characteristics
通过观察图4发现：
- 在初始时，所有的$s_n$和$s_p$都较小，这是由于高维随机特征倾向于彼此分离。而在训练中，$s_p$得到了显著的较大权重，占据了训练，使得相似度快速增加，这证明了Circle loss使用更灵活且平衡的优化手段。
- 在训练的最后，Circle loss在$s_p$和$s_n$的收敛上都比AMSoftmax要好。
论文可视化了收敛后的相似度分布，可以看到，Circle loss以更紧密地方式通过了决策边界，而AMSoftmax则较为稀疏地通过了，这表明Circle loss的优化目标较为明确的，特征空间可分离性更好，这种情况在图5c中更为明显。
CONCLUSION
论文将classification learning和pair-wise learning进行了统一的表达，并根据目前的损失函数实际存在问题进行了改进，提出了Circle loss，不仅能够对类内优化和类间优化进行单独地处理，还能根据不同的相似度值调整对应的梯度。总体而言，Circle loss更灵活，而且优化目标更明确，在多个实验上都有较好的表现。
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