线性回归作为一种常用的关联分析工具，其功能强大，解释度高，但是其缺点也是很明显的。其只适用于处理连续型的变量，无法处理离散型的变量，比如对于case/control的实验设计，患病与否的临床信息，线性回归就无能无力了，此时我们就需要另外一种方法-逻辑回归。
线性回归是属于回归分析的一种，从名称上来，逻辑回归好像也属于回归分析，其实不然。在机器学习领域有两大类问题，回归和分类，回归指的是针对因变量为连续型变量的分析，而分类则是针对离散型因变量的分析。从这一点来看，逻辑回归其实是属于分类问题。
那么为何其名称中又包含了回归这个单词呢，是因为其核心思想和回归分析是一样的，通过构建回归方程来解决问题。以最基本的一个自变量，二分类因变量为例，其数据分布如下
因变量对应的y轴对应两条水平线，而x轴可以有很灵活的变量范围，可以想象，对于这样的数据，用任意直线来拟合效果都很差，绝大部分的点都会落不到直线附近。因此，数学家提出了一个独特的拟合函数，称之为sigmod函数，其分布类似S型曲线，示意如下
sigmod函数可以将任意实数映射到0到1之间，具有非常强的鲁棒性，映射出来的值正好可以作为一个概率值，通过设定阈值范围，来确定对应的状态。
为了更好的理解逻辑回归和线性回归之间的关系，我们来看下对应的回归方程，图示如下
上图中逻辑回归公式对应的形式就是sigmod函数，其中的e为自然常数，进一步转换如下
从最终的形式可以看出，逻辑回归就是用ln(p/1-p)来替换了线性回归中的因变量y， 所以说逻辑回归是在线性回归的基础上发展而来的一项技术，同时等式右边都是一个线性关系，二者同属于广义线性回归模型的一种。
在R语言中通过广义线性回归的函数glm可以实现逻辑回归，代码如下
x为连续型的自变量，y为二分类的因变量，binomial代表二项分布。逻辑回归的方程通过最大似然法进行求解，coefficients就是对应的回归参数，AIC值是一个衡量拟合效果的统计量，计算公式如下
其中的K代表回归参数的个数, L代表似然函数的最大值，回归参数的求解通过最大似然法进行，最终得到的模型中对应的似然值最大，AIC值最小。通过summary可以查看自变量和因变量关联性的p值等信息，示意如下
线性回归中的R2为预测数据的方差除以实际数据的方差，在逻辑回归中，因变量无法有效计算方差，所以逻辑回归的R2是一个假的R2，称之为pseudo R-Squareds, 有多种算法来计算该值，不同算法的出发点也不同，详细链接如下
https://stats.idre.ucla.edu/other/mult-pkg/faq/general/faq-what-are-pseudo-r-squareds/
以McFadden’s Pseudo-R2 为例，公式如下
用1减去空假设的似然值与当前模型似然值的比例即可，而输出结果中的residual.deviance和null.deviance和似然之间的关系如下
所以可以根据这两个值来计算R2, 代码如下
R2在线性回归中作为拟合优度的指标，而在逻辑回归中，我们已经有了AIC值这个指标了，所以R2显得没有那么重要。对于逻辑回归而言，有一个比较关注的指标就是log odd ratio。
在费舍尔精确检验和卡方检验中，对于2X2的两个分类变量的关联性，用odd ratio值来衡量其关联性的强弱，在二分类因变量的逻辑回归中，对于同样为二分类的自变量，也会有odd ratio值里衡量其和因变量的关联性。
在逻辑回归中，对于二分类的自变量，其odd ratio值如下
Y为因变量，X为对应的二分类自变量，beta代表回归方程中x的回归系数，Z代表其他变量, 将上述公式进行log转换，可以看出x对应的log odd ratio值其实就是其回归系数。
在逻辑回归中，二分类自变量和因变量的关联性，用该自变量对应的回归系数，也就是log odd ratio来表征，其实这个概念也可以拓展到连续型的自变量上，只不过解释会稍有不同。
对于连续型的自变量而言，其log odd ratio值也是其回归系数，只不过因为其值是连续的，log odd ratio值反应的是该自变量每增加一个单位，因变量概率变化的幅度。
通过回归系数或者说log odd ratio, 可以寻找影响因变量的危险因素。
