估值调整 - Quanto 调整

2020-01-14 15:18:05 浏览数 (1)

Quanto 是 quantity-adjusting 的缩写，字面上是变量调整的意思。由于 Quanto 没有好的中文翻译，我们就直接用 Quanto。带有 Quanto 衍生品的特点是标的物以货币 A 计价，但是产品本身是以货币 B 结算。

举个例子，一个中国投资者买了个标的物是苹果股票的欧式看涨期权，正常的期权费是以美元结算，但对于中国投资者期权费需要转成人民币，有两种方式：

  1. 非 Quanto看涨期权：支付函数 Π1 = (S(T) - K) × XUSDCNY(T)
  2. Quanto 看涨期权：支付函数 Π2 = (S(T) - K) × Q

其中 S(T) 是苹果股票在到期日 T 时的价格，K 是行权价格， XUSDCNY(T) 是美元人民币在到期日 T 时的即期汇率，而 Q 是 Quanto 因子，一般是美元人民币在 T 时点的远期汇率。Q 是常数，而 XUSDCNY(T) 是随机变量，它和标的价格 S(T) 有相关性。

  • 当它们正相关时，Var(Π1)>Var(Π2)，非 Quanto 比 Quanto 看涨期权更值钱。
  • 当它们负相关时，Var(Π1)<Var(Π2)，Quanto 比非 Quanto 看涨期权更值钱。

由此可知对于 Quanto 产品，标的物和汇率（标的物货币和结算货币之间的汇率）的相关性系数对其定价起了关键作用。

在金融产品中，我们可以

  • 用日元支付美元 LIBOR（利率 Quanto）
  • 用人民币支付苹果股票（股票 Quanto）
  • 用新加坡元支付黄金（商品 Quanto）
  • 用欧元支付标的为“美元/日元”的合约（外汇 Quanto）

下面我们来细细研究每种类型的 Quanto。首先标识两个测度符号：

  • TCUR：CUR 的远期测度
  • QCUR：CUR 的风险中性测度

1

利率 Quanto

自然估值货币是欧元，结算货币是美元

考虑一份利率 Quanto 上限合约（IR Quanto Cap, IRQ Cap），标的利率是 EUR EURIBOR，自然估值货币为 EUR，但该合约以 USD 结算。该合约的支付是 LEUR(U, U, T) 的函数，其中 U 是 EURIBOR 定盘日，而 T 是支付日。由于是以 USD 结算，那么在 TUSD 测度下（注意不是 TEUR 测度），该利率上限的价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 EURUSD 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

EURIBOR LEUR(t, U, T) 在 TEUR 测度下是鞅，但在 TUSD 测度下不是，假设为它服从几何布朗运动，我们目标就是求出漂移项 μ，

推导思路很巧妙，需要构造几个在 TUSD测度下是鞅的变量，比如

  • XEURUSD(T)：利率平价公式推出的远期汇率为 SEURUSD(t)·PEUR(t, T)/ PUSD(t, T)，分母是 TUSD 测度对应的等价物（numeraire）
  • LEUR(t, U, T)·XEURUSD(T)：表达式为LEUR(t, U, T)·SEURUSD(t)·PEUR(t,T)/PUSD(t, T)

为了简化符号，我们用 L 代表 LEUR(t, U, T)，用 X 代表 XEURUSD(T)，在推导中我们只关注 dt

因为 L·X 是鞅，那么漂移项为 0，解得 μ = -ρL,XσLσX。

对比 LEUR(t, U, T) 在 TEUR 和 TUSD 测度下的 SDE ，注意两个 SDE 对应的布朗运动项不一样。

两式相减可得到两个布朗运动之间的关系

自然估值货币是美元，结算货币是欧元

接着再考虑一个和上面 IRQ Cap 相似的合约，其自然估值货币和结算货币正好相反，标的利率是 USD LIBOR，自然估值货币为 USD，但该合约以 EUR 结算，那么该合约在 TEUR 测度下的价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 USDEUR 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

现在我们目标是求出在 TEUR 测度下 LIBOR LUSD(t, U, T) 的 SDE

推导思路和上面类似，需要构造几个在 TEUR 测度下是鞅的变量，比如

  • XUSDEUR(T)：表达式为 SUSDEUR(t)·PUSD(t, T)/ PEUR(t, T)
  • LUSD(t, U, T) · XUSDEUR(T)：表达式为 LUSD(t, U, T)·SUSDEUR(t)·PUSD(t,T)/ PEUR(t, T)

为了简化符号，我们用 L 代表 LUSD(t,U, T)，用 X 代表 XUSDEUR(T)，推导过程和上面一模一样，整理 dt 项前系数即可

因为 L·X 是鞅，那么漂移项为 0，解得，注意 X 是 USDEUR 的汇率，但市场通常是以 EURUSD 形式报价，那么波动率和相关系数表达式为

按照市场报价惯例，用 X 代表 EURUSD 形式，根据上面两个等式，推出 μ = ρL,XσLσX。

推广和总结

定义结算货币为 Quanto 货币，符号为 QUT；自然估值货币为本币，符号为 DOM，当 QUTDOM

  • 和市场报价惯例一致，比如 EURUSD 和 USDJPY，μ = -ρL,XσLσX
  • 和市场报价惯例不一致，比如 USDEUR 和 JPYUSD，μ = ρL,XσLσX

对比在 TDOM 和 TQUT 测度下的 LDOM(t, U, T) 的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项，±ρL,XσLσX

因此在估值 Quanto 合约时，我们只需调整 LDOM(0, U, T) 值，然后直接带入非 Quanto 合约的公式中就行了。

其中 ρL,X 根据「特定IBOR」和「特定货币对即期汇率」的历史数据计算出来。

2

商品和股票 Quanto

商品和股票 Quanto 非常类似，因此我们只以商品 Quanto 举例。

自然估值货币是美元，结算货币是人民币

考虑一份商品 Quanto 看涨期权合约（Commodity Quanto Call, CMQ Call）标的商品是布伦特原油（brent oil），因此自然估值货币为 USD，但用 CNY 结算。该合约的支付是商品价格 CUSD(T) 的函数，T 是支付日。由于是以 CNY 结算，那么在 QCNY 测度下（注意不是 QUSD测度），期权价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 USDCNY 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

假设 CUSD(t) 在 QUSD 测度下服从几何布朗运动，暂时忽略商品的便利收益（convenience yield），那么 CUSD(t) 的 SDE 的漂移项为 rUSD，我们目标是求出 CUSD(t) 在 QCNY 测度下的漂移项 μ，

推导思路很巧妙，构造变量 CUSD(t) · XUSDCNY(t)/βCNY(t) 使其在 QCNY测度下是鞅，其中

  • XUSDCNY(t)：时点 t 的 USDCNY 的汇率值
  • βCNY(t)：时点 t 的 CNY 银行账户值

为了简化符号，我们用 C 代表 CUSD(t)，用 X 代表 XUSDCNY(t)，用 β 代表 βCNY(t)，X 和 β 在 QCNY 测度下是鞅的 SDE 为

在推导中我们只关注 dt

因为 C·X/β 是鞅，那么漂移项为 0，解得 μ = rUSD - ρC,XσCσX。

对比 CUSD(t) 在 QUSD 和 QCNY 测度下的 SDE ，注意两个 SDE 对应的布朗运动项不一样。

两式相减可得到两个布朗运动之间的关系

自然估值货币是人民币，结算货币是美元

接着再考虑一个和上面 CMQ Call 相似的合约，标的商品是上海金（Shanghai gold），因此自然估值货币为 CNY，但用 USD 结算，那么该合约在 QUSD 远期测度下的价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 CNYUSD 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

现在我们目标是求出在 QUSD 测度下 CCNY(t) 的 SDE

推导思路和上面类似，构造变量 CCNY(t) ·XCNYUSD(t)/βUSD(t) 使其在 QUSD测度下是鞅。为了简化符号，我们用 C 代表 CCNY(t)，用 X 代表 XCNYUSD(t)，用 β 代表 βUSD(t)，最后推出

因为 C·X/β 是鞅，那么漂移项为 0，解得 μ = rCNY - ρC,XσCσX。注意 X 是 CNYUSD 的汇率，但市场通常是以 USDCNY 形式报价，那么波动率和相关系数表达式为

按照市场报价惯例，用 X 代表 USDCNY 形式，根据上面两个等式，推出 μ = rCNY ρC,XσCσX。

推广和总结

定义结算货币为 Qunato货币，符号为 QUT；自然估值货币为本币，符号为 DOM。当 QUTDOM

  • 和市场报价惯例一致，比如 USDCNY，μ = rDOM ρC,XσCσX
  • 和市场报价惯例不一致，比如 CNYUSD，μ = rDOM - ρC,XσCσX

当考虑商品的便利收益 q 时，对比在QDOM 和 QQUT 测度下的 CDOM(t) 的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项，±ρC,XσCσX

因此在估值 Quanto 合约时，我们只需调整商品价格 C(T) 的远期值 F(0, T)，然后直接带入非 Quanto 合约的公式中就行了。

其中 ρC,X 根据「特定商品即期价格」和「特定货币对即期汇率」的历史数据计算出来。

3

外汇 Quanto

考虑一份外汇 Quanto 看涨期权合约（Foreign Exchange Quanto, FXQ），标的汇率是 USDJPY，因此期权金自然估值货币为 JPY，但用 EUR 结算。该合约的支付是汇率 XUSDJPY(T) 的函数，T 是支付日。期权价值为

上式中 Q 是 Quanto因子，通常是 JPYEUR 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

我们知道在 QJPY测度下，XUSDJPY(t) 的 SDE 为

但由于是以 EUR 结算，我们需要 XUSDJPY(t) 在 QEUR 测度下的 SDE，使用外汇三角关系（triangle relationship）得到

再在 QEUR 测度下，写出 XUSDEUR(t) 和 XJPYEUR(t) 的 SDE 为

为了简化符号，我们

  • 用 X1, X2, X3 代表 XUSDJPY(t), XUSDEUR(t), XJPYEUR(t)，那么 X1= X2/X3
  • 用 r­E, rU, rJ 代表 r­EUR, rUSD, rJPY
  • 用 σ1, σ2, σ3 代表 σUSDJPY, σUSDEUR, σJPYEUR
  • 用 W1, W2, W3 代表 WUSDJPY(t), WUSDEUR(t), WJPYEUR(t)

值得注意的是，这三个布朗运动是相关的

那么在 QEUR 测度下，对 X1 求导得到

最后一行的证明如下。

推广和总结

在 FXQ 中，定义结算货币为 Qunato 货币，符号为 QUT；给定货币对 FORDOM，外币符号为 FOR，本币符号为 DOM。上式的 ρ 是 FORDOM 和 DOMQUT 对数收益率之间的相关性。

回到上面具体的合约，对一笔到期日为 T 的用 EUR 结算的 USDJPY 外汇 Quanto 期权而言，QUT 是 EUR，FOR 是 USD，DOM 是 JPY，那么 ρ 是 USDJPY 和 JPYEUR 对数收益率之间的相关性，具体公式给定如下：

上式中的波动率都可从 EURUSD、USDJPY 和 EURJPY 的 ATM 波动率曲线上 T 时点获取。

对比在 QDOM 和 QQUT 测度下的 XFORDOM(t) 的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项。

因此在估值 Quanto合约时，我们只需调整即期汇率 XFORDOM(T) 的远期值 FFORDOM(0, T)，然后直接带入非 Quanto 合约的公式中就行了。

4

总结

一表胜千言。

用 M(t) 来抽象表示通用变量 L(t, U, T), C(t), S(t) 和 X(t)，它在自然估值货币 DOM 和结算货币 QUT 不同测度下的 SDE 可写成

两者之间的唯一差异就是 μ，计算 M(U) 在对应的两个测度下的期望，得到

因此定价 Quanto 产品分三步：

  1. 首先计算标的资产在到期日 U 的期望值 F(0, U)
  2. 接着乘上 Quanto 调整项 exp(μU) 得到 F(0, U) × exp(μU)
  3. 最后将其带入已推导出来的非 Quanto 产品定价公式

下帖讲时间调整（Time Adjustment）。

Stay Tuned！

dom

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