本文介绍的方法FwFM，主要来自上面的两篇文章，分别为：《Field-weighted Factorization Machines for Click-Through Rate Prediction in Display Advertising》和《A Sparse Deep Factorization Machine for E icient CTR prediction》。
1、背景
点击率预估是展示广告中核心问题之一，其目的是将合适的广告在适当的情景下呈现给合适的用户。目前点击率预估中使用的数据通常包含多个域的离散变量，这导致整个的特征维度非常巨大，处理这样的数据，通常面临以下三方面的挑战：
1）需要建模特征之间普遍存在的交互关系。比如，在NBA官网上展示Nike的广告，其点击率会远高于Nike广告的平均点击率或者NBA官网上所有广告的平均点击率。
2）不同域的特征之间的交互强度往往不同。比如，性别域和广告主域的特征之间关系强度比较高，但是性别域和设备域特征之间的交互强度比较低。
3）模型的复杂度需要关注。在线上使用模型时，需要存储模型的参数比如权重以及嵌入向量(Embedding)，如果参数过多，会对线上的性能造成一定的影响。
为了解决上述的几个问题，研究者提出了许多相关的建模方案，如FM和FFM。先来回顾下这两个模型：
FM
FM为每一维特征都赋予一个k维的嵌入向量，假设特征维度为m，那么参数总量为m mK（或者m mK 1），其计算公式如下：
FFM
FM没有考虑到不同域的特征进行交互时的差异，因此对每一维特征，FFM在不同的域赋予不同的嵌入向量。假设数据共有n个域、m维特征，而且每个域都是单值离散变量的话，每维特征会对应n-1个嵌入向量(不需要特征所在域的嵌入向量，单值离散特征情况下，一个特征只会与其他域的特征进行交互），因此参数总量为m m(n-1)K（或者m m(n-1)K 1），其计算公式如下：
结合前面所提到的CTR预估中所面临的三个挑战，FM相当于解决了第一个挑战，即考虑了特征之间的交互关系，而FFM相当于在FM的基础上解决了第二个挑战，即考虑了不同域的特征之间的交互强度。但是FFM的参数过多，在离线优化以及线上使用时，性能较为一般。因此，在FFM的基础上继续解决第三个挑战，便是本文要介绍的FwFM（Field-weighted Factorization Machines）。
2、FwFM
同FFM一样，FwFM也是在FM的基础上考虑不同域之间的交互强度关系，但做法不同。FwFM中对不同域之间的交互强度赋予一个统一的权重，其计算公式如下：
这样相较于FFM，总的参数量降低了许多，假设数据共有n个域、m维特征，那么FwFM的参数总量为m mK n(n-1)/2（或者m mK n(n-1)/2 1）。
3、FwFM的变形
结合两篇文章，主要提出了两种FwFM的变形，一是对原公式中的线性部分进行改造，二是将FwFM和DNN相结合，即DeepFwFM。
3.1 线性部分变形
文中将使用原计算公式的FwFM方法称为FwFMs_LW，同时针对线性部分，提出了两种变形方法，分别称为FwFMs_FeLV和FwFMs_FiLV。
FwFMs_FeLV(FwFMs with feature-wise linear weight vectors)
原公式中的线性部分，每一维特征i对应一个标量权重wi，而在FwFMs_FeLV中，标量权重变成了和嵌入向量vi同样长度的向量wi，二者通过内积得到特征i的标量权重，此时线性部分的计算公式如下：
此时参数的总数增加为2mK n(n-1)/2。
FwFMs_FiLV(FwFMs with field-wise linear weight vectors)
在FwFMs_FiLV中，标量权重变成了和嵌入向量vi同样长度的向量w F(i)(即同一个域中的特征共享一个权重向量)，二者通过内积得到特征i的标量权重，此时线性部分的计算公式如下：
此时参数的总数为nK mK n(n-1)/2。
3.2 DeepFwFM
DeepFwFM即将DNN与FwFM相结合，其图示如下（下图来自第二篇文章，图示应该是上文所说的FwFMs_FiLV）：
4、实验结果
下面的实验结果来自文章1，对比了FwFM和FM、FFM的结果：
可以看到FwFMs的效果好于LR、FM，这说明对域之间的关系的建模可以带来一定的效果的提升。虽然FFM的效果要要好于FwFMs，但相差并不多，因此可以说，FwFMs能够实现预测效果和性能的平衡。
接下来是不同的FwFMs的效果，可以看到三种方法的差距并不大：
