本文原作者：汪毅雄，经授权后发布。
导语：本文在上篇线性回归的基础上，延伸到广义线性模型，并把广义线性模型目的、假设条件来源，指数族分布、连接函数等各个函数的关系都进行详细地解释。最后用两个常见的GLM特例Logistics回归、Softmax模型进行了推导。
接上篇，我们了解了一下线性回归及其延伸回归的原理（传送门 机器学习之回归原理详述（一）），我们知道了线性回归是通过建立了一个线性模型来预测样本的值。而今天要聊的内容是线性模型的升级版，叫广义线性模型（GLM），基于此模型延伸而来的很多子模型很多，而且用途非常广，所以研究其很有意义！！！
GLM一个抽象模型，里面涉及了不少内容，很多相关文章也都有介绍。但是不少文章只是介绍了怎么用它，至于为什么引入，其各个角色之间的关系，介绍的不多。所以这篇文章中，我会引入很多个人看法（可能有错）和通俗的语言，来尝试把它讲的更明白些。由于内容有点生涩，关系有点乱，所以想了解原理的同学可能需要花点时间来好好了解，当然我自己也花了很多功夫。
为什么引入GLM？
上一篇文章中，我们知道了”回归“一般是用于预测样本的值，这个值通常是连续的。但是受限于其连续的特性，一般用它来进行分类的效果往往很不理想。为了保留线性回归”简单效果有不错“的特点，又想让它能够进行分类，因此需要对预测值再做一次处理。这个多出来的处理过程，就是GLM所做的最主要的事。而处理过程的这个函数，我们把它叫做连接函数。
如下图是一个广义模型的流程：
图中，当一个处理样本的回归模型是线性模型，且连接函数满足一定特性（特性下面说明）时，我们把模型叫做广义线性模型。因为广义模型的最后输出可以为离散，也可以为连续，因此，用广义模型进行分类、回归都是可以的。
但是为什么线性回归是广义线性模型的子类呢，因为连接函数是f(x) = x本身的时候，也就是不做任何处理时，它其实就是一个线性回归啦。
所以模型的问题就转化成获得合适的连接函数？以及有了连接函数，怎么求其预测函数
连接函数的获取
刚才说了，只有连接函数满足一定特性才属于广义线性模型。特性是什么呢？先简单描述下背景。
在广义线性模型中，为了提高可操作性，因此限定了Y和X的分布必须满足指数族分布：
其
即为上图所提到的回归模型输出的连续值，也就是说
。
有上述条件，满足指数族分布的样本，就可以通过来E(T(Y))得到
了，也就是上图连接函数的输出值。
// PS：对于Y，X不满足指数族分布的，只不过不能用E(T(Y))来描述成
，其也不属于广义线性模型，但不是不可计算。
// PS1：E(T(Y))这个统计量为什么可以预测函数呢，这块是可以证明的，本文就不详述了。
事实上，指数分布族包括了除了柯西分布和t分布以外的其他基本分布，因此其适用域非常广。
从图中我们可以看到
为函数的输入，而
为函数的输出。所以有这么一个公式：
，但是，我们会把f的逆
称为连接函数（别问为什么，就是这么定义的。。。），也就是说以
为自变量，
为因变量的函数才叫连接函数。
不管是 f 还是
，其能反映输入输出的关系就行对吧。
所以求连接函数的步骤就变成：
1、把Y、X所满足的分布拼凑成指数族分布形式
2、在指数族分布形式中获得 T（Y）的函数形式和
的值。
3、算出 E(T(Y))和
的关系，并把
代入
中，获得连接函数，并得到
。
有了连接函数和
，就可以用最大似然估计啊、梯度下降算法啊来进行后一步的计算了。
常见连接函数求解及对应回归
伯努利分布 > Logistics回归
伯努利分布只有0、1两种情况，因此它的概率分布可以写成：
写成指数族分布的形式有：
这样在指数族分布中： B(y) = 1; T(Y) = y;
,
这样E(T(Y))= E(y)；
由于伯努利分布是离散分布，因此它的期望：
所以：
又因为
，此函数输入为
也就是
，输出为
，这不就是我们要找的连接函数：
又因为
，代入
式子中，得到
化简得到：
（此函数又叫Sigmod函数）
用这个预测函数的回归，我们把它叫做Logistics回归。
Logistics的回归的使用范围很广，例如判断是否垃圾邮件这种二分类问题上经常出现。
多项分布 > softmax回归
softmax理解：
假设有n个数x1、x2。。。xn，我们从中随机抽取一个数，请问这个数是什么？
答案显然是不知道的，但是我们可以回答，这个数最有可能是什么。
所以我们计算一下抽到xi的概率为p(xi)，这样p(xi)占的比重为：
那我们可以写上答案为max p(x1), p(x2) ... p(xi) ... p(xn) 所对应的那个x。
但是呢，直接用max p(xi) ，其在取值域存在不可导点的，不利于计算。
因此为了消除它的不可导点，我们用了一种对概率曲线柔化后的max方式进行模拟，这种柔化的max我们把它叫做softmax。大概模拟的示意如图：
这种软化的方式是对概率指数化：
所以结果变成求max exp(p(xi)) ，以这种概率形式来对线性模型输出值做概率计算，并通过选取最大概率的方式来进行分类的模型，我们称之为softmax模型。
softmax多项分布解释：
刚才提了一个稍微好理解的方式。其实softmax和多项分布息息相关的，我们用最客观的方式推导一下。多项分布其实是伯努利分布的一个扩展，其取值可以从 1、2....k 中取，可以简单地建模为如下：
第1个数为1，其他数全为0，记为1
第k个数为1，其他数全为0，记为2
这样就对 1,2....k进行了区分。
因此它的概率分布如下：
其中u｛y=k｝的意思为：y==k ? 1: 0 相当输出1，否则为0。
因此对应在指数族分布中，其：
B(y) = 1;
所以有：
对上面等式从1至k相加可得：
这样我们就得到了
的一般形式。
而对于其期望和预测函数:
结论和上面说的拍脑门的方式一模一样。
Softmax的回归用的非常非常多，可以说是最常用的k分类器之一。真的很重要！！！
广义线性模型的计算
有了
这个概率密度函数，我们对其求对数似然函数：
其损失函数J也就是负的最大似然函数。对最大似然函数求梯度可得：
这个式子是一个广义线性模型通用的公式，也就是对于线性模型、Logistics等都适用。用此梯度不断对损失函数进行梯度下降，得到损失函数的最小值，并取出对应参数即可。这部分实现代码就不贴了，推荐一个python库sklearn，里面集成了很多模型，很适合新手上路。
附一个常见连接函数表（来源某付费学习视频PPT）：
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