Softmax梯度推导
0.说在前面
今天来学习Softmax梯度推导及实现！
1.损失函数
矩阵乘法
矩阵相乘，矩阵A的一行乘以矩阵B的每一列，不用循环B矩阵乘法公式：
对于下面这个，则不用循环W矩阵，否则通常做法还得循环W矩阵的每一列！
代码语言：javascript复制score = np.dot(X[i],W)
损失函数
具体的描述看代码，有一点需要注意，损失函数Loss也就是cross-entropy！
在实际计算的时候，需要给分子分母同时乘以常熟C，一般C取-maxfj，目的是防止数值爆炸，所产生的导致计算机内存不足，计算不稳定！
代码语言：javascript复制def softmax_loss_naive(W, X, y, reg):
loss = 0.0
dW = np.zeros_like(W)
num_train = X.shape[0]
num_class = W.shape[1]
for i in range(num_train):
# 得到S矩阵每一行
score = np.dot(X[i],W)
# 防止数值爆炸，保持稳定性
score-=max(score)
# 分子 去指数
score = np.exp(score)
# 分母，S矩阵每一行求和
softmax_sum = np.sum(score)
# broadcast：向量除以标量
score /= softmax_sum
# 得到交叉熵，也就是softmax的loss
loss -= np.log(score[y[i]])
# 平均
loss/=num_train
# 加上正则项
loss =reg*np.sum(W*W)
return loss, dW
2.梯度推导
shape查看
X为(D,N)，W为(N,C)
梯度求导推论
这里Xi与Wj转置均是行向量!
记作(2)式：
记作(3)式：
pm = [0,…1…,0]是一个是一个one hot vector
梯度求导：
利用链式求导法则：记作(4)式：
观察shape：
对Wj求导后shape是(1，D)，后面三个分别是(1,C)，(C,C)，(C,D)，最终是(1,D)，记作(5)式：
记作(6)式：
上面求导分为两种情况，记作(7)式：
Si表示S矩阵中每一行数据，那Sj对Wj求导如下：
现在取X矩阵第一行[X11,X12,…..X1n]
取W矩阵第一列[W11,W21….Wn1]
X与W矩阵相乘得S矩阵，上面X第一行与W第一列相乘得到S矩阵第一个元素，记作S01，同理我们可以得到S矩阵每一行得所有元素，分别为Si1,Si2,…..,SiC。
Wj代表W矩阵得列向量，每一列为Wj，第一列W1，后面依此类推！
那么我们现在来分析一下Si对Wj求导，这里推导：
对于最上面wj代表行向量，如下面所示是W矩阵(D,C)表示：记作(8)式：
回顾一下(1)式，那么W转置得矩阵(C,D)则为：记作(9)式：
而X矩阵(N,D)则是：记作(10)式：
而S矩阵(N,C)表示为(记作)：记作(11)式：
也就是，记作(12)式：：
S1表示第一行，Si表示第i行
现在回到求导，那么当Si对Wj进行求导得时候，我们从列向量表示得S矩阵(12)与原始矩阵S(11)相比较，我们知道，Si对wj求导为xi，其余全为0，得到下面结果，记作(13)式(C,D)：
带入链式求导法则，得到：
梯度实现
在上述交叉熵下面添加如下代码即可！
代码语言：javascript复制# 计算梯度
for j in range(num_class):
if j!=y[i]:
dw[:,j] =score[j]*X[i]
else:
dw[:,j] =(score[j]-1)*X[i]
