我们发文章的频率不高，一周一篇原创的节奏。一是因为本人才疏学浅，不那么能随意口吐莲花，另外我也相信，厚积才能薄发，因为数学魔术这个小众领域找到一些资料，思考出一些令我满意的创新点不是那么容易，有时候短短的一篇文章需要阅读大量资料和自我思考才能完成，各位客官，久等了！
之前的文章中，我们陆续介绍过对称关系，反函数，恒等式等一些高度抽象的数学概念，而今天我们要说的奇偶性是上面这些性质的一个具体体现，由此又可以衍生出一些新的概念来加深理解。最后，这些不为人知的数学性质加上魔术的艺术包装，就变成了令人着迷的数学魔术了。
奇偶性定义
奇偶性是自然数的一个重要性质，考察的是一个数是否能被2整除。其天然地把自然数划分为两个对立的集合，并且直观上看，他们的顺序位置交替出现：
图1 奇偶数定义和关系
注意，这里本质的定义是基于取模操作得到的，且取mod的是有意义的最小的正整数2（mod1相当于啥也没做），也正是这个值，决定N会被划分为多少个子集。且2有着及其特殊的性质，我们一点点来看。
奇数和偶数的运算性质
我们很小的时候学数学的时候一定学过这些关于奇偶性的四则运算性质：
加减运算：
Odd ± Odd = Even
Odd ± Even = Odd
Even ± Old = Odd
Even ± Even = Even
乘法运算：
Odd * Odd = Odd
Odd * Even = Even
Even * Odd = Even
Even * Even = Even
注意，他们并不是真的运算表达式，而是说明两个集合的数经过运算之后的结果的性质会在哪个集合内，没有理解这一点，这些公式就只能死记硬背了。
其实，在心中默默地找两个数算一下，也不觉得这里面能有多高深的内容。但是仔细观察后却能发现一些显而易见但是不知道怎么说清楚的规律：
1. 加和减对奇偶性没有影响，性质不变；
2. 奇数的加减改变原来数的奇偶性；
3. （被）乘数只要一个是偶数，那么乘积结果就是偶数；
这些规律想来容易理解，但好像也说不出个所以然来，为什么是对的呢？
这个说深了就涉及到抽象代数里的群论了。
即，根据上面对奇偶性的定义，奇偶数两个集合带上加法，从生成角度，偶数是Z的子群，而奇数是其唯一陪集，故其构成的商群因其是正规子群而存在，恰好构成一个C2群（也同构于D1群），这样上面的性质就显而易见了。
好了，知道你可能不知道这一段在说什么，我们简单解释一下。
本篇不会介绍群论里更高深的理论，仅就本问题相关的必要内容展开论述。
我们想象有这么一个集合，有一个基本元素e，表示起始位置或空集，还有一个生成元素r，表示执行一次操作或者添加元素，其上有一个加法运算“ ”，满足r * n = nr = e，这里的*是数量乘法，是已经定义好的“ ”的简便运算。这个性质即表示这里定义的“ ”是个模加法，相加以后要去取模，使结果可以由0~(n-1)的整数来代表。那么，由这个基本元素和生成元生成的集合为Cn = <(e, r) | n * r = e> = {e, r, 2r,......,(n - 1)r}，即Cyclic Group。
当然，作为群，只需要有单位元，逆元，封闭性和结合律就可以了，Cylic Group可证明满足，而且其还具有交换性，是个Abelian Group。
有人问为什么要搞个模加法，其实运算都是为实际真实场景服务的，比如时钟的加法，多边形经过旋转以后的位置的描述，基本的加法都不符合其特性，模加法恰好是描述他们的数学模型，而这里我们探讨奇偶数的加减法性质，恰好在结构上和这个问题石凳通的，也要用到模加法。
回到我们的问题，以上定义的“ ”为模加法，恰好，当模为2的时候完美契合奇偶性的描述。即C2=({e, r}, )，有r * 2 = e。那么，全体偶数集合为e，奇数集合为r，“ ”的含义为：
任意取两个加数集合中的元素作加法，得到的结果所属的集合。
之前我说我们小学学的那几个奇偶性的四则运算性质里的加减号不是一般的四则运算符号就是这个意思，它的真实含义是上面这个。而这个含义下，符合上面说的C2群的性质，故其规律是显而易见的（与前面的性质一一对应）：
1. 对于C2群，显然e = - e，由r * 2 = 2r= e有r = - r，换句话说，加减法这对逆运算是相等的。即这个操作是二阶对称的（仅指2r = e这一点）。即加减运算在奇偶性意义下是等同的（f ^ - 1(x) = f(x)），且任意数的加法做两次以后回归本身（x = ff(x)）；
注意哦，这里是指的奇偶性回归本身，而且两次f只需要是同为奇数或偶数就行了，不要求是同一个数！
这个性质当且仅当模为2的时候成立，即r的周期为2，形成的就是二阶对称操作，即两次复合以后恢复原状（不是指的整体的不变性，而是描述不变性的群内的操作的性质），或者正反操作完全等同。当r的周期为1，即r = e，或言之x = f(x)，此时对象x称为操作f的不动点，而x的取值范围往往是重点，故这是一个变量的性质，不同于前面的函数的性质。再推广之，若r的周期为3及以上，那么性质仍然对应成立只是没有不动点的对象对称性和对称关系的关系二阶对称性来得美观和简洁了。
2. 奇数集合就是群中的的r元素，相当于1，显然它的加减等价地改变原来的值，而偶数是e元素，即0，加减以后原地不动；
3. 乘积运算我们理解成数量乘法，那么被乘数是偶数则表示e元素累加若干次，结果不变；乘数是偶数时，由于每两次运算都可以拆解为互相抵消的逆元算，则无论被乘数是多少都不改变结果，况且我们还有交换律打底。
最后用数学语言爽快地再说一遍：
Z是一个在数量加法下的Abel群和加上乘法上的幺半群（monoid）的环，2Z由于丢失了乘法的单位元而不再是环但仍然是群，称为子群。2Z 1是该群唯一的陪集（coset），而其陪集和本身又构成群，称为商群（quotient group）Z / 2Z = Z2，其存在的条件是原子群是个正规子群。所以我们的奇偶性说白了就是Z群的一个正规子群2Z和唯一陪集2Z 1一起，他们构成的商群同构于C2 / D1。
而前面关于奇偶的运算定律说的就是：
加减法：
Z2是一个 上的Abel群，故有逆运算，偶数是 的单位元，奇数是生成元，满足二阶对称性（r ^ 2 = e）。
乘法：
Z2还是一个 和*上的交换环（commutativering），但不是除环（division ring, inverse of * exists except 0），0是 * 上的消去子（annihilator，或者叫零化因子）。
以上用到的仅仅是群的最基本的定义和性质。简单提到一下，群是研究集合对象及其运算结构的数学，比如典型的对称，指的是某些操作下的不变性，而这些操作能够形成的元素全集连同操作本身天然就是群，满足其性质。对称群对应的集合使得原图形在任何群内操作上都保持不变，这是漂亮的几何图形形成的根源，也是他们的共同本质。
而前面讲的对称关系仅仅是群内元素的运算性质：二阶对称，而还可以有很多其他更低或更高阶的，以及其他的对称结构，这个我们后面有文章再详细说明。而一旦深入到这个结构，就和该对象本身无关了，就像我用5表示这一筐枣子的数量和另一框6个枣子的相加，那相加运算和枣子就没有关系了，已经完成数学建模变成数学运算了。比如，这里的Cn群的实现可以是模n加法（不考虑进位的位加法），也可以是类似上述的定义，甚至是一个待旋转的几何图形。他们是在群的结构上同构的，但是表象却大不相同。
这些就是我对奇偶性在一个高维度上的理解和解释。当我们满足于模糊的理解时，总是容易骄傲自满，但是当静下心来思考问题的来由，会发现还有大把的宝藏等待着我们来挖掘。
我痴迷于把我看到的表面的世界一点点抽象掉。
数学到魔术
说了这么多奇偶性，那么哪一条才最值得使用到魔术里成为杀招呢？当然是以2为周期的操作上的二阶对称性了！
1. 两次相同的操作就可以恢复原状，可以直接控制结果的奇偶性；
2. 任意选择加减操作却不会改变结果的奇偶性；
说白了，还是对称性，而且是C2群的对称性的两种经典使用，无论是恢复原状，还是逆操作的相等性，都是在看似随机条件下制造恒等条件的绝佳方法。回顾一下之前的数学魔术文章，尤其是Reverse原理背后的数学和魔幻艺术为代表的这篇，大多都是利用的这个二阶对称性来构造的奇迹。而更高阶的对称性的使用会稍微有些困难，而更低阶的不动点性质也值得挖掘，我们后面再单独介绍。
