数学不解释系列之数列极限

我是一名大学生，一名数学的渣.

私以为,所谓专业, 就是熟练, 有货要倒得出, 说的明白, 所有才有这一系列文章, 我将分享在学数学过程中的一些栗子, 我尽量讲的深入浅出, 希望大家能够喜欢.

今天来给大家说说数列的极限

本文章若有任何的错误, 欢迎指教, 这是我的邮箱:devecor@163.com

什么是极限呢？不解释，举个栗子, 大家自行理解

栗子1-1

有一个无穷大的数, 取个名字叫infty,读作无穷大,~~这是实数的边界，实数其实没有边界,~~ ~~无穷大是一个没有边界的域的一个假想的边界~~，那么1overinfty? 当然是0啦. 类似的有: {1overinfty} 1=1, acdot{1overinfty}=0, acdot{1over{infty^2}}=0...wtf?这和极限有啥关系?

真正的栗子1-1:极限

limlimits_{nrightarrowinfty} {1 over n} = 0

这个等式的意思是 1 over n在n趋于infty时的极限为0, 读者可以简单的理解为{1 over infty} = 0

复杂一点的栗子1-2:夹逼定理

求limlimits_{n rightarrow infty} {1 over sqrt{n^2 1}} {1 over sqrt{n^2 2} } cdots {1 over sqrt{n^2 n}}的极限^{[1]}

下面是一套不解释求解:

经过一番仔(zhi)细(jie)的(cha)观(li)察(ti), 发现此数列有n项, 第一项最大, 最后一项最小, 于是

overbrace{{1 over sqrt{n^2 1}} {1 over sqrt{n^2 1} } cdots {1 over sqrt{n^2 1}}}^{n项} leq {1 over sqrt{n^2 1}} {1 over sqrt{n^2 2} } cdots {1 over sqrt{n^2 n}} leq overbrace{{1 over sqrt{n^2 n}} {1 over sqrt{n^2 n} } cdots {1 over sqrt{n^2 n}}}^{n项}

过于冗长, 为书写方便, 我定义三个数列{lbrace x_n rbrace}, {lbrace y_n rbrace}, {lbrace z_n rbrace}, 其中

x_n = {1 over sqrt{n^2 n}} {1 over sqrt{n^2 n} } cdots {1 over sqrt{n^2 n}}

y_n = {1 over sqrt{n^2 1}} {1 over sqrt{n^2 2} } cdots {1 over sqrt{n^2 n}}

z_n = {1 over sqrt{n^2 1}} {1 over sqrt{n^2 1} } cdots {1 over sqrt{n^2 1}}

于是, 上式就变成了

x_n leq y_n leq x_n

进一步, 不解释变形为

x_n = {n over sqrt{n^2 1}} = frac{1}{sqrt{1 {frac{1}{n}}}}

z_n = {n over sqrt{n^2 n}} = frac{1}{sqrt{1 {frac{1}{n^2}}}}

还记得{1overinfty} 1=1, acdot{1overinfty}=0, acdot{1over{infty^2}}=0吗?我们来求一下, lbrace x_n rbrace, lbrace y_n rbrace的极限

{lim limits_{n rightarrow infty}} x_n = {frac{1}{sqrt{1 0}}} = 1

{lim limits_{n rightarrow infty}} z_n = {frac{1}{sqrt{1 0}}} = 1

那么, 1 leq {lim limits_{n rightarrow infty}} y_n leq 1, 这意味着什么?

对啦, {lim limits_{n rightarrow infty}} y_n = 1

如此, 极限就求出来了.

这个栗子使用的一个著名的定理----夹逼定理:

有三个数列{lbrace x_n rbrace}, {lbrace y_n rbrace}, {lbrace z_n rbrace}, 其中 x_n leq y_n leq z_n {lim limits_{n rightarrow infty}} x_n = a, {lim limits_{n rightarrow infty}} z_n = a 则{limlimits_{n rightarrow infty}} y_n = a^{[1]}

大家肯定知道一个超级常用的常数e, 约等于2.7182818cdots, 下面是一个关于e的栗子(不懂微积分的读者可以跳过栗子1-3, 因为重要概念, 我不解释, 害不害怕?):

栗子1-3:单调有界必有极限

证明数列lbrace x_n rbrace = lbrace {begin{pmatrix}1 frac{1}{n} end{pmatrix}}^n rbrace收敛^{[1]}

什么是收敛? 就是数列在n rightarrow infty处, 存在极限啦, 快往上翻看看啥是极限, 这里不解释

对于不听劝没跳过这节的读者, 此式的极限不能看作为{begin{pmatrix} 1 frac{1}{infty} end{pmatrix}}^infty, 也不能进一步看作{(1 0})^infty = 1, 原因我不解释

证明正式开始:

证:

别急, 我发现这个数列是个二项式, 话不多说, 展开了瞅瞅:

x_n = {sum_{k = 0}^n} begin{pmatrix} n \ k end{pmatrix} {(frac{1}{n})}^k

= 1 {frac{n}{1!}} {frac{1}{n}} {frac{n(n-1)}{2!}} {frac{1}{n^2}} {frac{n(n-1)(n-2)}{3!}} {frac{1}{n^3}} cdots {frac{n(n-1) cdots (n-n 1)}{n!}} {frac{1}{n^n}}

= 1 1! {frac{1}{2!}} {begin{pmatrix}1 - frac{1}{n} end{pmatrix}} {frac{1}{3!}} {begin{pmatrix}1 - frac{1}{n} end{pmatrix}} {begin{pmatrix}1 - frac{2}{n} end{pmatrix}} cdots {frac{1}{n!}} {begin{pmatrix}1 - frac{1}{n} end{pmatrix}} {begin{pmatrix}1 - frac{2}{n} end{pmatrix} cdots begin{pmatrix}1 - frac{n-1}{n} end{pmatrix}}

如何转换请读者自行脑补或笔算, 这里不解释

s_{n 1}也可转换为类似的形式:

x_{n 1} = 1 1! {frac{1}{2!}} {begin{pmatrix}1 - frac{1}{n 1} end{pmatrix}} {frac{1}{3!}} {begin{pmatrix}1 - frac{1}{n 1} end{pmatrix}} {begin{pmatrix}1 - frac{2}{n 1} end{pmatrix}} cdots {frac{1}{n!}} {begin{pmatrix}1 - frac{1}{n 1} end{pmatrix}} {begin{pmatrix}1 - frac{2}{n 1} end{pmatrix}} cdots {begin{pmatrix} 1-frac{n-1}{n 1} end{pmatrix}} cdots {frac{1}{(n 1)!}} {begin{pmatrix}1 - frac{1}{n 1} end{pmatrix}} {begin{pmatrix}1 - frac{2}{n 1} end{pmatrix}} cdots {begin{pmatrix} 1 - frac{n}{n 1} end{pmatrix}}

除了前两项相同之外, 后者每一项都大于前者相应项, 这说明:

x_n leq x_{n 1}

即数列单调递增, 此处不解释

另外,

x_n < 1 {frac{1}{1!}} {frac{1}{2!}} {frac{1}{3!}} cdots {frac{1}{n!}}

< 1 1 {frac{1}{2}} {frac{1}{2^2}} cdots {frac{1}{2^{n-1}}}

= 1 frac{1 - frac{1}{2^n}}{1 - frac{1}{2}} = 3 - frac{1}{2^{n-1}} < 3

请读者根据x_n的展开式自行脑补过程

此式说明, 对于任意的n, x_n都不可能大于3, 即有上界, 上界大家根据字面理解, 不解释

此数列单调递增却不可能超过定值3, 这就意味着, 该数列存在极限

这就是单调有界必有极限准则, 读者可理解为, 单调递增有上界必有极限, 单调递减有下届必有极限, 切记不可理解为单调递减有上界还存在极限.

这个极限就是大名鼎鼎的e了, 即limlimits_{n rightarrowinfty}begin{pmatrix}1 frac{1}{n} end{pmatrix}^n = e

很高兴你能读到此处, 若你不是学理工的人, 请跳过并结束本篇文章的阅读, 下面我将给出极限最正经的定义

栗子1-4: epsilon - N定义

证明limlimits_{n rightarrow infty} sqrt[n]{a} = 1

先来认识下什么是epsilon - N定义

设有数列lbrace x_n rbrace和常数a, forall epsilon > 0, exists N in N, forall n > N, 均有

mid x_n - a mid < epsilon

我们就说x_n的极限是a

上面这段乱码是说, 对于任意小的epsilon, 要多小有多小, 几乎可以看作是0, 存在一个正整数N, 使得在任意的n > N情况下, mid x_n - a mid < epsilon恒成立, 则a是x_n极限.

我在说什么? 这是人话吗? 请读者自行意会, 笔者不解释

下面是证明过程

证:

啊, 证明过程简直不忍直视, 被笔者选择性忽略, 有兴趣的朋友可以参考此链接

参考文献

1 四川大学数学学院高等数学教研室. 高等数学第一册M. 第四版

数学

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