Monte Carlo的数学推导
为什么Monte Carlo可以求解积分
期望值定义：
如果一个函数h，我们可以找到它在[a,b]之间的概率密度函数f (w = h / f)，则该积分等同于w的期望值。
而LLD(Law of Large Numbers 大数定理)告诉我们，只要有足够多的样本，万物都难逃被统计的宿命。基于LLD， Monte Carlo方法实现了一种以离散的方式解决积分的办法，可以让i无限接近I。这种思路非常实用，比如一个复杂函数的积分，而且简单易用，具有通用性。
如上，比如[a,b]区间对函数f求面积，首先，x方向在[a,b]之间是均匀分布的，所以pdf(概率密度函数)是1 / (b-a)，因此，最终是求E(f* (b-a))，对应的数学公式如下，公式中的h对应上图中的f，而公式中的f是pdf函数。为了节约时间，直接找现成的图片，凑合看吧：
改善Monte Carlo采样方法
举个栗子，你打算找一个伴侣，给你三个选择，a) github，b) 梦境里，c)千山万水，给你三次机会，你会如何分配？除了对三次都选A的同学表达我的敬意外，这里的问题是，有多大的概率，才能说出“原来你也在这里”。从ABC三个选择来看，这似乎是一个悲剧，那我们换一个问题，如何量化结果和理想的这种差距呢？这就是方差Variance。
假设对一个函数f取常数c，设置该函数对应的pdf为cf(x):
此时，f(x) / pdf = 1/c，常数，方差为零。换句话说，如果我们能够知道函数f对应的pdf，基于该概率的采样，收敛最佳，换句话说，最少的次数可以达到较好的期望。
然而，很多时候，pdf函数很复杂，或者不存在，我们需要选择一个近似的，简单的函数来模拟该pdf，这就是Importance Sampling的思路。
如上，我们无法获取函数f，则用函数g来取代，如下图，我们可以证明，期望值仍然是I
基于方差公式V = E(X^2) – (E(X))^2 = E(X^2) - I^2，可以看到，当g趋近于f时，方差越小，就好比无数折线拟合的圆，看似平滑却充满了纤细而深邃的裂痕。
Importance Sampling在光线追踪中是很重要的优化手段，不知道是我们不满足还是这个世界确实不完美，面对光线的千变万化，很多时候，很难用一个简单的函数来拟合pdf，比如室外和室内的灯光差异等。为了更高效的提高光线追踪的收敛速度，Eric Veach在那篇旷世论文《ROBUST MONTE CARLO METHODS》中提到了MIS(Multiple IS)方法,思路很简单，我们提供多个曲线来拟合pdf，然后找到一个标准，来判断在某一个区间中这些曲线之间的权重。比如有a和b两种采样策略，保证在任意区间，w(a) w(b) = 1，找到一个评价标准p，谁的策略好，谁的权重大，动态的调整。注：Veach因为这篇论文对电影行业的贡献拿到了奥斯卡奖。
如上，Wi对应不同的采样策略，Ni对应该策略下对应的采样次数，p是IS中对应的pdf函数。Sum(Wi)和为1，证明期望值不变。
这里，有一个限定条件Sum(Wi) = 1,求方差最小。典型的Lagrangemultiplier求解λ。在论文9.A proof中给出了证明，为了保证阅读体验，我们直接给出结果，此时的方差最小：
如上，我们结束了MonteCarlo知识点的相关整理。算是光线追踪中数学部分的完美证明，然后我们再看看物理世界中，是如何糟蹋这些公式的（approximation）
Light Transport
首先，祭出光学公式，考虑到有些人可能没看之前我写的Ray Tracing文章，耐心解释一下：Wi是入射角度，比如光源，Wo是射出角度，比如相机，该积分的意思是所有可能的入射角累计的光源辐射强度E，对应irradiance， 然后转化为射出角度下对应的L，radiance。F是B*DF转换函数，简单说就是一个转换比例，G是几何函数，对应Wi两端和法线的夹角和距离，这里留一个小疑问，如何推导A到Ω的过程？
如上是该函数的物理解释，不管怎样，有了积分，我们就可以采用蒙特卡洛积分：
两种采样方式，从眼睛到光源的Importance Path，或从光源到眼睛的RadiancePath。两者的效果是一样的，只是这个承诺，需要一万年(∞)来证明。
这样，我们可以采用如上的某一个方法采样，实现渲染效果。当然，这只是direct light，光线只有一次反弹，而现实中光线在光源和眼睛之前会有无数次的反弹，只是每次能量会衰弱，但发生的事情总是存在的，看不见并不等于不存在，所以，通常我们会限定一个迭代次数。
不同场景下，两者的收敛效率是不一样的，比如室外阳光充分，从眼睛出发的射线，大概率会找到光源，环境光也是光源，概率较大，而室内暗淡的环境下，从光源出发，找到眼睛的概率会大一些。我们可以用某一种策略采样N次，用另一种采样M次，但也可以分区域采样，如上图，这就是NEE的思路，每次和物体相交，我们尝试向光源发送一条射线，如果可见，则该采样成功。当然，每次根据Wi获取对应的pdf，也就是IS的方法。
但这样有一个问题，如果眼睛出发的光线D，误打误撞的碰到光源，这个贡献是无效的，因为和C重复了，这就有点可惜，于是C和D商量一下，要不大家来一个分成，这就是MIS的策略。
NEE算是比较常见的光线路径模拟策略，但还是有遗憾，在光线路径中，只有最后一个光线是从光源出发的Explici t path，其他的都是基于材质的Random Walk。一些光学现象很难模拟，比如Caustic，或者灯光被某个透明材质包围，于是，便有了Photon Mapping策略，从光源出发。
这么多的光路策略，不同场景下各有优劣，Eric Veach提出了BDPT的路径，大概的思路是你从眼睛出发，我从光源出发，大家各自Random Walk，每走一步都看看是否能找到对方。这样，便有了很多不同的Path，采用基于面积的概率，给每一条Path设置对应的权重，MIS的思路，将所有光线叠加在一起，达到一个近似的最优解。如下图所示，原始的光线效果，以及MIS加权后的效果：
文章到这就结束了。从开始的认真写作，到中间发生了一个很伤悲的事情，最后麻木的写完，不知道读到这的人是否能感受到我情绪上的变化。我觉得自己挺矛盾的，作为工程师，思考问题要注重逻辑上的严谨和可证实，但有时候，也觉得自己很感性，会无缘由的做出一些非理性的选择，比如辞掉12年的工作，拒绝阿里的Offer而选择读书，这可能算是迄今为止我做过的最帅的选择。记得同事开玩笑说，表面上我是一个程序员，骨子里是一个诗人。当然，我没资格当诗人，因为诗人多数是渣男，只有帅哥才有资格渣。
作为工程师，我很满足，但当我审视这份满足感时，发现它是建立在两个基础上，第一，有无数待解决的问题满足好奇心，第二，这些问题必定可解。有时静下心来推一个数学公式，会被巧妙的推论折服，一霎那的兴奋后是毫无缘故的失落，觉得自己做的事情没意义，或者觉得这个世界并不如这些公式般可解，或者心里明白，所谓的快感，只是多巴胺的化学反应。于是，我开始每天跑步，因为我知道运动能产生内啡肽，可以感知幸福。我不愿意提及那些内心深处的遗憾，就算写，也只能找个角落，在吞与吐之间反反复复，觉得只要自己足够强大，可以接受那些遗憾，可不经意见听到的某首歌，还是会觉得落寞。想起了Mary and Max里的一句话，如果我在一个孤岛上，那么我就要适应一个人生活，只有椰子和我。可看看孤独这两个字，把它们拆开，还有瓜果还陪着蚊虫，不得不自嘲，至少我还可以选一首歌，大声唱过，再看天地辽阔。
