历史上AVL树流行的另一变种是红黑树(red black tree)。对于红黑树的操作在最坏情形下花费O(log N)时间，而且我们将看到，(对于插入操作的)一种慎重的非递归实现可以相对容易地完成(与AVL树相比)。
红黑树是具有下列着色性质的二叉查找树：
1、每一个节点或者红色，或者黑色。
2、根是黑色的。
3、如果一个节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的。
4、从一个节点到一个NULL指针的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。
着色法则的一个推论是：红黑树的高度最多是2log(N 1)。因此，保证查找是一种对数的操作。和通常一样，困难在于将一个新项插入到树中。通常把新项作为树叶放到树中。如果我们把该项涂成黑色，那么我们肯定违反条件4，因为将会建立一条更长的黑节点的路径。因此，这一项必须涂成黑色。如果它的父节点是黑的，我们插入完成。如果它的父节点已经是红色的，那么我们得到连续红色节点，这就违反了条件3。在这种情况下，我们必须调整该树以确保条件3满足(且又不引起条件4被破坏)。用于完成这项工作的基本操作是颜色的改变和树的旋转。
1、自底向上输入
我们已将注意到，如果新插入的项的定义是黑色的，那么插入完成。如果父节点是红色的，那么会有几种情形(每种都有一个镜像对称)需要考虑。首先，假设这个父节点的兄弟是黑色的(我们采纳约定：NULL节点都是黑色的)。对于插入3或8是适用的，但对插入99不适用。令X是新加的树叶，P是它的父节点，S是该父节点的兄弟(若存在)，G是祖父节点。这种情形只有X和P是红的，G是黑的，因为否则就会在插入前有两个相连的红色节点，违反了红黑树的法则。采用伸展树的术语，X、P和G可以形成一个一字形链或之字形链(两个方向中的任一个方向)。
第一种情形对应P和G之间的单旋转，而第二种情形对应双旋转，该双旋转首先在X和P间进行，然后在X和G之间进行。当编写程序的时候，我们必须记录父节点、祖父节点，以及为了重新连接还要记录曾祖节点。在两种情形下，子树的新根被涂成黑色，因此，即使原来的曾祖是红的，我们也排除了两个相邻红节点的可能性。同样中要的是，这些旋转的结果是通向A、B和C诸路径上的黑节点数保持不变。
到现在为止一切顺利。但是，如果S是红色的，那么会发生什么情况呢？在这种情况下，初始时从子树的根到C的路径上有一个黑色节点。在旋转之后，一定仍然还是只有一个黑色节点。但在两种情况下，在通向C的路径上都有三个节点(新的根，S和G)。由于只有一个可能是黑的，又由于我们不能有连续的红色节点，于是我们必须把S的子树和新根都涂成红色，而把G(以及第四个节点)涂成黑色。这很好，可是，如果曾祖也是红色的那么又会怎样呢？此时，我们可以将这个过程朝着根的方向上滤，就像对B树和二叉堆所做的那样，直到我们不再有两个相连的红色节点或者到达根(它将被重新涂成黑色)处为止。
2、自顶向下红黑树
上滤的实现需要用一个栈或用一些父指针保存路径。我们看到，如果我们使用一个自顶向下的过程，实际上是对红黑树应用从顶向下保证S不会是红的过程，则伸展树会更有效。这个过程在概念上是容易的。在向下的过程中当我们看到一个节点X有两个红儿子的时候，我们让X成为红的而让它的两个儿子是黑的。如果X的父节点的兄弟是红的会如何？这种可能性已经被从顶向下过程中的行动所排除，因此X的父节点的兄弟不可能是红的！特别地，如果在沿树向下的过程中我们看到一个节点Y由两个红儿子，那么我们知道Y的孙子必须是黑的，由于Y的儿子也要变成黑的，甚至可能发生旋转之后，因此我们将不会看到两层上另外的红节点。这样，当我们看到X，若的父节点是红的，则X的父节点的兄弟不可能也是红的。
红黑树的具体实现是复杂的，这不仅因为有大量的可能的旋转，而且还因为一些子树可能是空的，以及处理根的特殊的情况(尤其是根没有父亲)。因此，我们使用两个标记节点：一个是为根，一个是NullNode，它的作用像在伸展树中那样指示一个NULL指针。根标记将在存储关键字
和一个指向真正的根的右指针。为此，查找和打印需要调整。递归的例程都很巧妙。我们使用一个隐藏的递归过程，并不强迫用户传递T-->Right。因此用户不必关系头结点。下面指出如何重新编写中序遍历。
代码语言：javascript复制/*Print the tree, watch our for NullNode*/
/*and skip header */
static void
{
if( T! != NullNode )
{ DoPrint( T->Left );
Output( T->Element );
DoPrint( T->Right );
}
}
void
PrintTree(RedBlackTree T)
{
DoPrint( T->Right );
}我们还需要使用用户调查例程Initialize来指定投节点。如果构造的是第一棵树，那么Initialize应该再为NullNode分配内存(其后的树可以分享NullNode)。因为得到的树必须连接到父节点上，所以Rotate把该父节点作为一个参数。在沿着树下行的时候，我们把Item作为参数传递，而不是跟踪旋转的类型。由于我们希望插入过程中旋转很少，因此这么做实际上不仅更简单，而且还更快。Rotate直接返回执行相应单旋转的结果。例程HandleReorient当我们遇到带有两个红儿子的节点时被调用，在我们插入一片叶子时它也被调用。唯一复杂的部分是，一个双旋转实际上是两个单旋转，而且只有通向X的分支相反方向时才进行。正如我们在较早的讨论中提到的。当沿树向下进行的时候，Inset必须记录父亲、祖父和曾祖父。注意，在一次旋转之后，存储在祖父和曾祖父中的值将不再正确。不过，可以肯定到下一次再需要它们的时候它将被重新存储。
3、自顶向下删除
红黑树中的删除也可以自顶向下进行。每一行工作都归结于能够杉树一片树叶。这是因为，要删除一个带有两个儿子的节点，我们用右子树上的最小节点代替它；该节点必须最多有一个儿子，然后将该节点删除。只有一个右儿子的节点可以用相同的方式删除，而只有一个左儿子的节点通过用其左子树上最大节点替换，然后可以将该节点删除。注意，对于红黑树带有一个儿子的节点的情形，我们不想使用这种方法进行，因为这可能在树的中部连接两个红色节点，为红黑条件的实现增加苦难。
代码语言：javascript复制typeof enum ColorType { Red, Black } ColorType:
struct RedBlack
{
ElementType Element
RedBlackTree Left;
RedBlackTree RIght;
ColorType Color;
};
Position NullNode = NULL; /* Needs initialization */
RedBlackTree
Initialize( void )
{
RedBlackTree T;
if( NullNode = Null)
{
NullNode == malloc(sizeof(struct RedBlackNode));
if( NullNode == NULL )
FataError("Out of space!!!");
NullNode -> left = NullNode->Right = NullNode;
NullNode -> Color = Black;
NullNode -> Element = Infinity;
}
/*Create the header node*/
T = malloc( sizeof( struct RedBlackTree ) );
if( T==NULL )
FatalError("Out of sapce!!!")
T -> Element = NegINfinity;
T -> Left = T -> Right = NullNode;
T -> Color = Black;
return T;
}
/* Perform a rotation at node X*/
/* (whose parent is passed as parameter)*/
/* The child is deduced by examing item*/
static Position
Potate( ElementType Item, Position Parnet )
{
if( Item < Parnet -> Element )
return Parent -> Left = Item < Parent -> Left -> Element ?
SingleRotateWithLeft( Parent->Left);
SingleRotateWithRight( Parent->Left);
else
return Parent->Right = Item < Parent->Right->Element ?
SingleRotateWithLeft( Parent -> Right )
SingleROtationWithRight( Parent -> Right )
}
static Position X, P, GP, GGP;
static
void HandleReorient( Element Type, RedBlackTree T )
{
x->Color = Red; /* DO the color flip */
x->Left->Color = Black;
x->Right->Color = Black;
if( P->Color == Red )/*Have to rotate*/
{
GP -> Color = Red;
if((Item < GP->Element) != (Item < P->Element))
P = Rotate( Item, GP );/* Start double rotation */
x = Rotate( Item, GGP )
x->Color = Black;
}
T->Right->Color = Black; /*Make root black*/
}
RedBlack
Insert( ElementType Item, RedBlackTree T )
{
X = P = GP = T;
NullNode -> Element = Item;
while(x->Element != Item) /*Descend down the tree*/
{
GGP = GP; GP = P; P = X;
if( Item < X->Elemnt )
X = X->Left;
else
X = X->Right;
if(x->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red)
HandleReorient( item, T )
}
if(X != NullNode)
return NullNode;/*Duplicate*/
X = malloc( sizeof( struct RedBlackNode ) )
if( X == NULL )
FatalError( "Out of space!!!" )
x->Element = item;
x->Left = X->Right = NULLNode;
if( Item < P->Element )/*Attach to its parent*/
P->Left = X;
else
P->Right = X;
HandleReorient( Item, T );/*Color red; maybe rotate*/
return T;
}当然，我们树叶的删除很简单。然而，如果一片树叶是黑色的，那么删除操作会复杂得多，因为黑色节点的删除将破坏条件4。解决方法是保证从上到下删除期间树叶是红色的。在整个讨论中，令X为当前节点，T是它的兄弟，而P是它们的父亲。开始时我们把树的根涂成红色。当沿树向下遍历时，我们设法保证X是红色的。当我们达到一个新的节点时，我们要确信P是红色的(归纳地按照我们试图保持的这种不变性)并且X和T是黑的(因为我们不能有两个相连的红色节点)。存在两种主要的情形。首先，X有两个黑儿子。此时有三种子情况。如果T也有两个黑儿子，那么我们可以翻转X，T和P的颜色来保持这种不变性。否则，T的儿子之一是红色的。设X的儿子之一是红的。在这种情形下，我们落到下一层上，得到新的X、T和P。如果幸运，X落在红儿子上，则我们可以继续向前进行。如果不是这样，那么我们知道T将是红的，而X和P将是黑的。我们可以旋转T和P，使得X的新父亲是红的；当然X和它将是黑的。此时我们可以回到第一种情况。
