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引言
在量化投资领域中，因子（factor）就是对股票池进行筛选的指标。大家耳熟能详的因子模型（factor model）有
- 单因子（市场因子）模型 Capital Asset Pricing Model（CAPM）
- Fama-French 三因子（市场、规模、价值因子）模型
- Ross 提出的多因子模型 Arbitrage Pricing Theory（APT）
本帖考虑的是量化平台 Quantopian 中的风险模型（Quantopian Risk Model, QRM），它是建立在 APT 之上，详细原版文档可点击左下角的阅读原文获得。
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模型简介
1.1
风险模型
QRM 本质上是一个多因子线性模型，用 J 个行业因子和 K 个风格因子来描述资产收益。
其中
- ri,t 是第 i 个资产在时点 t 上的收益
- J 是行业因子的个数
- K 是风格因子的个数
- βseci,j,t 是第 i 个资产的第 j 个行业因子在时点 t 上的因子载荷
- fsecj,t 是第 i 个资产的第 j 个行业因子在时点 t 上的因子收益
- βstyi,k,t 是第 i 个资产的第 k 个风格因子在时点 t 上的因子载荷
- fstyk,t 是第 i 个资产的第 k 个风格因子在时点 t 上的因子收益
- εi,t 是第 i 个资产在时点 t 上的残差收益
因子载荷（factor loading）也称作因子暴露（factor exposure），因子收益（factor return）也称作因子回报。
下两节分别介绍 QRM 里的行业因子和风格因子。
1.2
行业因子
行业因子（sector factor）反映不同行业对收益产生的影响。我们用晨星（Morningstar）里的行业 ETF 收益来表示行业因子收益 fsecj,t。下表总结出行业、ETF 代号、晨星代号、SID 和 Quantopian API 里变量名称之间的映射。
每种股票都会映射到某个行业中，而该行业的因子收益是已知的，需要估计的是行业的因子载荷。
1.3
风格因子
QRM 考虑五个风格因子（style factor），分别是动量（momentum）、规模（size）、价值（value）、短期反转（short-term reversal）和波动率（volatility）。每个风格因子都可以用来复制一个传统的投资策略。下表总结出五个风格因子的定义。
风格因子的定义比较抽象，可用不同的代理（proxy）方法来量化，下面介绍 QRM 对这五个风格因子的具体实现方法。
动量因子
动量因子用「过去一年扣除最近一月的收益率」来量化。
其中 ri,t 是第 i 个资产在第 l 天的收益，而 c 是每个月的交易日的天数，通常设为 21。
规模因子
规模因子用「流通市值的自然对数」来量化。
其中 Mi,t-1 是第 i 个资产在第 t-1 天的流通市值。
价值因子
价值因子用「权益和流通市值的比率」来量化。
其中 Si,t-1 是第 i 个资产在第 t-1 天的权益。
短期反转因子
短期反转因子用「近 14 日的相对强弱指数的相反数」来量化。
其中 RSIi,t-1 是第 i 个资产在 (t-15, t-1) 时期内的 14 天相对强弱指数。
波动率因子
波动率因子用「近 6 个月收益率的标准差」来量化。
其中 bar{ri} 是第 i 个资产在 (-6c t-1, t-1) 时期内的平均收益。
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理论框架
2.1
方法论
整个 QRM 的方法论是将下面模型
划分成以下两个子模型
在 N 只股票，T 天历史，J 个行业和 K 种风格的设置下，我们选取 Quantopian 3000 只股票，采用 2 年历史数据，涉及 11 个行业和 5 种风格，因此 N = 3000, T = 500, J = 11, K = 5。令现在为时点 T，那么时点 t 代表历史第 T-t 天。
子模型一
第一个子模型目的是计算行业残差收益（sector residual return）矩阵，大小为 T×N，具体算法步骤总结在下表中。
步骤 2 中这种在「不同时点对相同股票」的回归被称作时间序列回归（time-series regression），上述算法进行了 N 次时间序列回归。
假设我们拿 6 只股票举例，而且只计算 4 天的历史收益。第 1 只股票是高盛，属于金融行业；第 2 只股票是 AT&T，属于电信行业。上述算法的简易版可视化如下图。
将 6 只股票做同样的回归而计算残差，堆叠后的残差矩阵（大小 6×4）如下图。
这个残差矩阵作为下个子模型的输入。
子模型二
第二个子模型目的是计算所有股票的风格残差收益（style residual return）矩阵，大小为 T×N。
首先将所有股票分成两大类
- 第一类包含房地产投资信托（REITs）、美国存托凭证（ADRs）和流动性差的股票，称为补充股票（complementary stock）
- 第二类包括剩余的股票，称为正常股票（normal stock）
对于 N1 只正常股票，我们已知其风格因子载荷，回归得到风格因子收益；假设五个风格因子适用于所有股票（正常股票和补充股票），那么对于 N2 只补充股票，用之前的风格因子收益，回归得到风格因子载荷。具体算法步骤总结在下表中。
步骤 1 中这种在「相同时点对不同股票」的回归被称作横截面回归（cross-sectional regression），步骤 2 中这种在「不同时点对相同股票」的回归被称作时间序列回归（time-series regression）。上述算法进行了 T 次横截面回归和 N2 次时间序列回归。
在 6 只股票中，假设前 4 只（N1 = 4）是正常股票，后 2 只（N2 = 4）是补充股票，步骤 1 的可视化如下图。
整理成矩阵形式，得到
垂直堆叠的风格因子收益矩阵 Fsty（大小 T×K）和风格残差收益矩阵 Σsty(N1) （大小 T×N1）如下图。
在步骤 2 中， 我们用 Fsty 对补充股票的残差收益做回归，其可视化如下图。
垂直堆叠风格残差收益矩阵 Σsty(N2)（大小 T×N2）如下图。
最后在步骤 3 将 Σsty(N1) 和 Σsty(N2) 合并成一个整体矩阵。
2.2
Quantopian 实现
方法论弄清楚后，实现以上两个算法其实不难，至于模型最后效果如何，确实需要考虑其他细节，如下图所示（第 73-81 行）。
麻烦的是如何得到行业因子收益和风格因子载荷。贴心的是 Quantopian 有一个 risk_loading_pipeline 的 API，可以获取所有股票在任何历史时期的上述指标。
展示代码如下：
有了这些数据，就可以选股（用混合法或整合法）、配置权重（用 MVO, Risk Parity 等等），做回测了。
3
总结
本帖介绍了 QRM，它本质就是个多因子模型，但是有自己独到的处理方法。
- QRM 先计算行业 ETF 收益，做行业因子收益的代理指标，再用时间序列线性回归得到行业残差收益。
- QRM 把所有股票分成正常股票和补充股票
- 先计算正常股票的风格因子载荷，再用横截面线性回归得到风格因子收益。
- 假设所有股票的风格因子收益一样，再用时间序列线性回归得到补充股票的风格因子载荷。
再用表格的形式总结 QRM 的方法论。
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