深入理解计算机系统cp2：定点数的表示和运算

在深入理解计算机系统cp1：存储单位、数制、编码中解释了字符编码，我们知道了计算机是怎么把字符转化为二进制的；本文将解释数字编码，介绍计算机如何把数字转化为二进制，以及相关的运算问题。

1.定点数的表示

1.1 无符号数

定义：无符号数就是没有体现正负号的数（这意味着所有的无符号数实际上都是正数），整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位。以108D为例，它对应的二进制数是 1101100，这实际上也就是它的无符号数，可以看到所有的位都是数值位。
表示范围：以八位二进制数为准，范围就是 00000000 到 11111111，也就是 0 到 255

1.2 有符号数

定义：有符号数就是有体现正负号的数，整个机器字长的全部二进制位中，最高位作为符号位，0 表示正数，1 表示负数，其余位则是数值位。依然以108D为例，它对应的二进制数是 1101100，而对应的有符号数则要在最前面加上符号位 0，即它的有符号数是 01101100.
表示范围：以八位二进制数为准，范围应该是从负数到正数，即从 11111111 到 01111111，也就是 -127 到 127

1.2.1.真值和机器数

真值：就是带有正负号的实际十进制数，比如上面例子中， 108D就是真值
机器数：机器数就是一个数在计算机中的二进制表示形式，注意机器数是由符号位和数值位构成的，比如上面例子中，01101100 就是机器数。

-156D（真值）= 110011100B(机器数)

1.2.2.原码、反码、补码和移码

(1)原码表示法

简单点理解，原码就是符号位加上真值（二进制）的绝对值，同时用逗号将符号位和数值位隔开。比如， 1 就是 0,0000001，-1 就是 1,0000001。

原码的特点是简单、直观，但是原码在进行加法运算的时候会出现问题。正数加正数或者负数加负数是正常的，但是正数加负数就会出错。比如我们现在想要计算 -1 3，我们心想：-1 是 10000001， 3 是 00000011，加起来得到的是 10000100，所以结果是 -4，但 -1 3 应该是等于 2，所以这个结果是错的。我们发现，本来应该做的是加法运算，但实际上变成了减法运算（-1-3=-4）。

我们首先想到，可以通过将“正数加负数”转化为“正数减正数”来手动纠正这个错误。上面的例子就变成 00000011 减 00000001，结果是 00000010，也就是 2，这个结果是正确的。

但是每次都这样手动转化，计算起来还是太麻烦了。于是我们接着想：有没有一种方法，可以让“正数加负数”中的负数等价于一个正数，从而确保始终进行的是相加操作呢？

于是这时候就引出了补码的概念。

(2)补码表示法

补数和模：理解补码之前，我们先来理解两个概念：补数和模。拿时钟举例，想要从10点拨到8点，有两种做法，一种是逆时针拨2个单位，记作-2；一种是顺时针拨10个单位，记作 10，这两种操作是等效的(有点负数等价于一个正数的意思)。这时候我们就说，-2 是 10 以 12 为模的补数，记作-2≡ 10(mod 12)，同理，-5 相当于 7，-4 相当于 8。
那么怎么基于补数和模的概念将“正数加负数”转化为“正数加正数” —— 即怎么令负数等价于一个正数呢？假设我们现在有一个寄存器可以存放四位二进制数（此时，模为16），我们想要让 1011 变成 0000，最容易想到的办法就是 1011-1011=0000，注意这里是正数加负数。想要变成正数加正数，就要找到等价于 -1011 的正数，-1011 就是 -11，-11 以 16 为模的补数就是 5， 5 就是 0101，这个正是我们要找的那个等价正数，因此这时候，1011-1011 变成了 1011 0101，其结果是 10000，不要忘了寄存器只能存放四位，所以结果其实是 0000，恰好与我们“正数加负数”时得到的结果无异。
接着引入补码的概念：
- 对于正数：正数的补码和原码相同；
- 对于负数：负数的补码等于其原码在保持符号位不变的情况下，其余各位取反，末位加一（取反加一）。注意，补码的补码等于原码，这可以用来根据补码求原码。
- 也可以用下图方法计算补码：

还是上面的例子，1011-1011，也就是11-11，我们考虑 11和-11， 11的原码=补码=01011，-11的原码是11011，因此补码是10101，那么01011 10101就会等于100000，因为寄存器是五位的，把前面的1去掉，那么结果就是00000，也就是0，和上面的运算结果一致。

(3)反码表示法

反码很好理解：

正数：反码等于原码等于补码；
负数：反码等于原码保持符号位不变的情况下其余各位取反。也就是说，补码=反码 1
反码的反码等于原码，这可以用来根据反码求原码。

(4)移码表示法

补码存在的问题是，仅从补码本身来看，很难比较两个数的大小，为此引入了移码的概念。移码指的是在真值（二进制）的基础上加上一个偏移量，通常这个偏移量是2^n。其中，n是数值位的位数。例如，对于-10101，其移码是2^7 (-10101)=10000000 (010101)=0,1101011。当然，我们有简单的方法可以计算一个数的移码：不管正数还是负数，其移码都等于补码的符号位取反。

2.定点数的加减运算

2.1 补码的加减运算

定点数的加减运算实际上就是补码的加减运算。我们来看一个例子：

假设机器字长为 8 位（含1位符号位），A=15，B=-24，现在求 A B 和 A-B。

A 的补码是 0,0001111，B 的补码是 1,1101000，那么 0,0001111 1,1101000=1,1110111，转化为原码，再转化为真值，得到 -9，这是正确的。同理，A-B 就是 A (-B)，-B 的补码是 0,0011000，那么 0,0001111 0,0011000=0,0100111，最后转化为真值，得到 39，这也是正确的。我们再来看另一个例子：