线性回归算法、L2正则化(岭回归)

线性回归目录

1.什么是线性回归

2. 能够解决什么样的问题

3. 一般表达式是什么

4. 如何计算

5. 过拟合、欠拟合如何解决

5.1 什么是L2正则化(岭回归)

5.2 什么场景下用L2正则化

5.3 什么是L1正则化(Lasso回归)

5.4 什么场景下使用L1正则化

5.5 什么是ElasticNet回归

5.6 ElasticNet回归的使用场景

6. 线性回归要求因变量服从正态分布？

7. 代码实现

线性：两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，叫做线性。
非线性：两个变量之间的关系不是一次函数关系的——图象不是直线，叫做非线性。
回归：人们在测量事物的时候因为客观条件所限，求得的都是测量值，而不是事物真实的值，为了能够得到真实值，无限次的进行测量，最后通过这些测量数据计算回归到真实值，这就是回归的由来。

对大量的观测数据进行处理，从而得到比较符合事物内部规律的数学表达式。也就是说寻找到数据与数据之间的规律所在，从而就可以模拟出结果，也就是对结果进行预测。解决的就是通过已知的数据得到未知的结果。例如：对房价的预测、判断信用评价、电影票房预估等。

使用正则化项，也就是给loss function加上一个参数项，正则化项有L1正则化、L2正则化、ElasticNet。加入这个正则化项好处：

L表示为图中的黑色圆形，随着梯度下降法的不断逼近，与圆第一次产生交点，而这个交点很难出现在坐标轴上。这就说明了L2正则化不容易得到稀疏矩阵，同时为了求出损失函数的最小值，使得w1和w2无限接近于0，达到防止过拟合的问题。

只要数据线性相关，用LinearRegression拟合的不是很好，需要正则化，可以考虑使用岭回归(L2), 如何输入特征的维度很高,而且是稀疏线性关系的话，岭回归就不太合适,考虑使用Lasso回归。

L1正则化与L2正则化的区别在于惩罚项的不同：

惩罚项表示为图中的黑色棱形，随着梯度下降法的不断逼近，与棱形第一次产生交点，而这个交点很容易出现在坐标轴上。这就说明了L1正则化容易得到稀疏矩阵。

L1正则化(Lasso回归)可以使得一些特征的系数变小,甚至还使一些绝对值较小的系数直接变为0，从而增强模型的泛化能力。对于高的特征数据,尤其是线性关系是稀疏的，就采用L1正则化(Lasso回归),或者是要在一堆特征里面找出主要的特征，那么L1正则化(Lasso回归)更是首选了。

ElasticNet综合了L1正则化项和L2正则化项，以下是它的公式：

ElasticNet在我们发现用Lasso回归太过(太多特征被稀疏为0),而岭回归也正则化的不够(回归系数衰减太慢)的时候，可以考虑使用ElasticNet回归来综合，得到比较好的结果。

我们假设线性回归的噪声服从均值为0的正态分布。当噪声符合正态分布N(0,delta^2)时，因变量则符合正态分布N(ax(i) b,delta^2)，其中预测函数y=ax(i) b。这个结论可以由正态分布的概率密度函数得到。也就是说当噪声符合正态分布时，其因变量必然也符合正态分布。

在用线性回归模型拟合数据之前，首先要求数据应符合或近似符合正态分布，否则得到的拟合函数不正确。

使用sklearn库的线性回归函数进行调用训练。梯度下降法获得误差最小值。最后使用均方误差法来评价模型的好坏程度，并画图进行比较。

最后输出的图是这样的：

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