前言
数据挖掘的理论背后，几乎离不开线性代数的计算，如矩阵乘法、矩阵分解、行列式求解等。本文将基于numpy模块实现常规线性代数的求解问题，需要注意的是，有一些线性代数的运算并不是直接调用numpy模块，而是调用numpy的子模块linalg（线性代数的缩写）。该子模块涵盖了线性代数所需的很多功能，本文将挑几个重要的例子加以说明。
函数清单
为使读者有一个全局的概念，下面罗列一些linalg子模块中有关线性代数的重要函数，以便读者快速查阅和灵活使用：
案例讲解
接下来，我们基于上表中的函数，分享几个重要的例子，相信在不久的将来，当你研究数据挖掘的算法理论时，可能会用到。
矩阵乘法
代码语言：javascript复制# 一维数组的点积
vector_dot = np.dot(np.array([1,2,3]), np.array([4,5,6]))
print('一维数组的点积：n',vector_dot)
# 二维数组的乘法
print('两个二维数组：')
print(arr10)
print(arr11)
arr2d = np.dot(arr10,arr11)
print('二维数组的乘法：n',arr2d)一维数组的点积： 32
两个二维数组： [[ 0 1 2] [ 3 4 5] [ 6 7 8] [ 9 10 11]] [[101 102 103 104] [105 106 107 108] [109 110 111 112]]
二维数组的乘法： [[ 323 326 329 332] [1268 1280 1292 1304] [2213 2234 2255 2276] [3158 3188 3218 3248]]
点积函数dot，使用在两个一维数组中，实际上是计算两个向量的乘积，返回一个标量；使用在两个二维数组中，即矩阵的乘法，矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，否则会报错。
diag函数的使用
代码语言：javascript复制arr15 = np.arange(16).reshape(4,-1)
print('4×4的矩阵：n',arr15)
print('取出矩阵的主对角线元素：n',np.diag(arr15))
print('由一维数组构造的方阵：n',np.diag(np.array([5,15,25])))4×4的矩阵： [[ 0 1 2 3] [ 4 5 6 7] [ 8 9 10 11] [12 13 14 15]]
取出矩阵的主对角线元素： [ 0 5 10 15]
由一维数组构造的方阵： [[ 5 0 0] [ 0 15 0] [ 0 0 25]]
如上结果所示，如果给diag函数传入的是二维数组，则返回由主对角元素构成的一维数组；如果向diag函数传入一个一维数组，则返回方阵，且方阵的主对角线就是一维数组的值，方阵的非主对角元素均为0。
特征根与特征向量
我们知道，假设A为n阶方阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx（x≠0），则称λ为A的特征根，x为特征根λ对应的特征向量。如果需要计算方阵的特征根和特征向量，可以使用子模块linalg中的eig函数：
代码语言：javascript复制# 计算方阵的特征向量和特征根
arr16 = np.array([[1,2,5],[3,6,8],[4,7,9]])
print('计算3×3方阵的特征根和特征向量：n',arr16)
print('求解结果为：n',np.linalg.eig(arr16))计算3×3方阵的特征根和特征向量： [[1 2 5] [3 6 8] [4 7 9]]
求解结果为： (array([ 16.75112093, -1.12317544, 0.37205451]), array([[-0.30758888, -0.90292521, 0.76324346], [-0.62178217, -0.09138877, -0.62723398], [-0.72026108, 0.41996923, 0.15503853]]))
如上结果所示，特征根和特征向量的结果存储在元组中，元组的第一个元素就是特征根，每个特征根对应的特征向量存储在元组的第二个元素中。
多元线性回归模型的解
多元线性回归模型一般用来预测连续的因变量，如根据天气状况预测游客数量、根据网站的活动页面预测支付转化率、根据城市人口的收入、教育水平、寿命等预测犯罪率等。该模型可以写成Y=Xβ ε，其中Y为因变量，X为自变量，ε为误差项。要想根据已知的X来预测Y的话，必须得知道偏回归系数β的值，对于熟悉多元线性回归模型的读者来说，一定知道偏回归系数的求解方程，即
。
代码语言：javascript复制# 计算偏回归系数
X = np.array([[1,1,4,3],[1,2,7,6],[1,2,6,6],[1,3,8,7],[1,2,5,8],[1,3,7,5],[1,6,10,12],[1,5,7,7],[1,6,3,4],[1,5,7,8]])
Y = np.array([3.2,3.8,3.7,4.3,4.4,5.2,6.7,4.8,4.2,5.1])
X_trans_X_inverse = np.linalg.inv(np.dot(np.transpose(X),X))
beta = np.dot(np.dot(X_trans_X_inverse,np.transpose(X)),Y)
print('偏回归系数为：n',beta)偏回归系数为： [ 1.78052227 0.24720413 0.15841148 0.13339845]
如上所示，X数组中，第一列全都是1，代表了这是线性回归模型中的截距项，剩下的三列代表自变量。根据β的求解公式，得到模型的偏回归系数。从而可以将多元线性回归模型表示为
。
多元一次方程组的求解
在中学的时候就学过有关多元一次方程组的知识，例如《九章算术》中有一题是这样描述的：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实秉各几何？解答这个问题就需要应用三元一次方程组，该方程组可以表示为：
在线性代数中，这个方程组就可以表示成AX=b，A代表等号左边数字构成的矩阵，X代表三个未知数，b代表等号右边数字构成的向量。如需求解未知数X，可以直接使用linalg 子模块中的solve函数，具体代码如下：
代码语言：javascript复制# 多元线性方程组
A = np.array([[3,2,1],[2,3,1],[1,2,3]])
b = np.array([39,34,26])
X = np.linalg.solve(A,b)
print('三元一次方程组的解：n',X)三元一次方程组的解： [ 9.25 4.25 2.75]
如上结果所示，得到方程组x，y，z的解分别是9.25，4.25和2.75。
范数的计算
范数常常用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小，它具有三方面的约束条件，分别是非负性、齐次性和三角不等性。最常用的范数就是p范数，其公式可以表示成
。关于范数的计算，可以使用linalg 子模块中的norm函数，举例如下：
代码语言：javascript复制# 范数的计算
arr17 = np.array([1,3,5,7,9,10,-12])
# 一范数
res1 = np.linalg.norm(arr17, ord = 1)
print('向量的一范数：n',res1)
# 二范数
res2 = np.linalg.norm(arr17, ord = 2)
print('向量的二范数：n',res2)
# 无穷范数
res3 = np.linalg.norm(arr17, ord = np.inf)
print('向量的无穷范数：n',res3)向量的一范数： 47.0 向量的二范数： 20.2237484162 向量的无穷范数： 12.0
如上结果所示，向量的无穷范数是指从向量中挑选出绝对值最大的元素。
结语
本期的内容就介绍到这里，如果你有任何问题，欢迎在公众号的留言区域表达你的疑问。同时，也欢迎各位朋友继续转发与分享文中的内容，让更多的人学习和进步。
