【机器学习】算法原理详细推导与实现(一):线性回归

【机器学习】算法原理详细推导与实现(一):线性回归

今天我们这里要讲第一个有监督学习算法，他可以用于一个回归任务，这个算法叫做 线性回归

房价预测

假设存在如下 m 组房价数据：

面积(m^2)	价格(万元)
82.35	193
65.00	213
114.20	255
75.08	128
75.84	223
...	...

通过上面的数据，可以做出如下一个图。横坐标是 面积(m^2)，纵坐标是 价格(万元)：

996148-20190528172755814-1526228187.png

那么问题来了，给你这样一组数据，或者给你这样一个训练数据的集合，能否预测房屋的面积大小和房价之间的关系？

构建函数

存在如下符号假设：

m 为训练数据 x 为输入特征，即房子的大小 y 为输出结果，即房子的价格 (x, y) 为一个样本，即表格中一行代表一个训练样本

为第 i 个训练样本

在监督学习中，我们一般会这样做：

1. 首先找到一个训练集合
2. 提供样本 m 给算法构建学习函数
3. 算法会生成一个学习函数，用

表示

1. 给学习函数提供足够的样本

，由此输出结果

学习函数

image.png

训练函数

image.png

为了设计学习算法(学习函数)，假设存在如下函数：

其中

是一个输入函数，这里代表输入的面积(m^2)，

是一个输出函数，这里代表 输出的价格(万元)，

是函数的参数，是需要根据样本学习的参数。对于如上的学习函数只是一个简单的二元一次方程，只需要两组样本

就能将

学习出来，这是一个很简单的函数，但是这样在实际情况中并非很合理。

但是影响房子价格的因素不仅仅是房子的大小。除了房子的大小之外，假设这里还知道每个房子的房间数量：

面积(m^2)	房间(个)	价格(万元)
82.35	2	193
65.00	2	213
114.20	3	255
75.08	2	128
75.84	2	223
...	...	...

那么我们的训练集合将有第二个特征，

表示房子的面积(m^2)，

表示房子的房间(个)，这是学习函数就变成了：

被称为参数，决定函数中每个特征

的影响力（权重）。

为参数为

输入变量为

的学习函数。如果令

，那么上述方程可以用求和方式写出，也可以转化为向量方式表示：

假设存在

个特征

，那么上述公式求和可以改成：

训练参数

在拥有足够多的训练数据，例如上面的房价数据，怎么选择(学习)出参数

出来？一个合理的方式是使学习函数

学习出来的预测值无限接近实际房价值

。假设单个样本误差表示为：

我们把

叫做单个样本的误差。至于为什么前面要乘

，是为了后面计算方便。

为了表示两者之间的接近程度，我们可以用训练数据中所有样本的误差的和，所以定义了 损失函数 为：

而最终的目的是为了使误差和

最小，这里会使用一个搜索算法来选取

使其误差和无限逼近

最小，其流程是：

1. 初始化一组向量

1. 不断改变

的值使其

不断减小

1. 直到取得

最小值，活得得到最优的参数向量

该搜索算法为 梯度下降，算法的思想是这样的，下图看到显示了一个图形和坐标轴，图像的高度表示误差和

，而下面的两条坐标表示不同的参数

，这里为了方便看图只是显示了

和

，即变化参数

和

使其误差和

在最低点，即最小值。

首先随机选取一个点

，它可能是

，也可能是随机的其他向量。最开始的 字符号表示开始，搜索使其

下降速度最快的方向，然后迈出一步。到了新的位置后，再次搜索下降速度最快的方向，然后一步一步搜索下降，梯度下降算法是这样工作的：

996148-20190531140947923-87371294.gif

梯度下降的核心就在于每次更新

的值，公式为：

上面公式代表：

每次都按照一定的 学习速率

搜索使误差和

下降最快的方向更新自身的值。而

是

的偏导值，求偏导得到极值即是下降最快的方向。假设在房价的例子中，只存在一组训练数据

，那么可以推导如下公式：

结合

可以得到：

对于存在

个训练样本，

转化为：

学习速率

是梯度下降的速率，

越大函数收敛得越快，

可能会远离最小值，精度越差；

越小函数收敛得越慢，

可能会靠近最小值，精度越高。下面就是下降寻找最小值的过程，在右图

越来越小的时候，左边的线性回归越来准：

996148-20190603112534562-1877385075.gif

代码

选取得到的 150条二手房 数据进行预测和训练，拟合情况如下：

996148-20190603170011436-686811669.png

计算损失函数：

代码语言：javascript复制

# 损失函数
def computeCost(X, y, theta):
    inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
    return np.sum(inner) / (2 * len(X))

梯度下降函数为：

代码语言：javascript复制

# 梯度下降函数
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
    parameters = int(theta.ravel().shape[1])
    cost = np.zeros(iters)

    for i in range(iters):
        error = (X * theta.T) - y

        for j in range(parameters):
            term = np.multiply(error, X[:, j])
            temp[0, j] = theta[0, j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))

        theta = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, theta)

    return theta, cost

训练迭代1000次后得到参数

：

代码语言：javascript复制

# 训练函数
def train_function():
    X, y, theta = get_training_dataset()
    # 有多少个x就生成多少个theta
    theta = np.matrix(np.zeros(X.shape[-1]))
    # 查看初始误差
    # first_cost=computeCost(X, y, theta)
    # print(first_cost)
    # 设置参数和步长
    alpha = 0.01
    iters = 1000

    # 训练得到theta和每一次训练的误差
    g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
    computeCost(X, y, g)
    return g, cost

监督学习 编程算法 线性回归

0 人点赞